Seja vec u != vec 0 e vec v tal que vec u * vec v = 0 e vec u ^^ vec v = vec 0 . Prove que vec v = vec 0 .

Passo 1

Tudo bem gente? Vamos começar lembrando que das fórmulas alternativas para o produto vetorial e para o produto escalar:

| vec u ^^ vec v | = | vec u | | vec v | s e n theta

vec u * vec v = | vec u | | vec v | c o s theta

Então, vamos usar o fato que ambos os produtos são nulos. No primeiro caso, temos

vec u ^^ vec v = vec 0 => | vec u | | vec v | s e n theta = 0 => | vec v | = 0 , o u s e n theta = 0

Já para o produto escalar, concluímos que

vec u * vec v = 0 => | vec u | | vec v | c o s theta = 0 => | vec v | = 0 , o u c o s theta = 0

Como não é possível ter um ângulo que anule o cosseno e o seno ao mesmo tempo, então só podemos ter vec u * vec v = 0 e vec u ^^ vec v = vec 0 simultaneamente se | vec v | = 0 , ou seja, se vec v = vec 0 .

Resposta

Veja a resolução acima.