Enunciado

Seja P a transformação de R 3 em R 3 , definida por P ( x , y , z ) = ( x , y , 0 ) . Se a imagem de uma reta r , por P , é um ponto, então quais são as equações paramétricas da reta r ?

Passo 1

Fala, galerinha! Vamos destruir mais uma questão? Então, vem comigo!

Bom, se vocês prestarem bem atenção, vão ver que P ( x , y , z ) = ( x , y , 0 ) é a projeção no plano x y (a gente mostrou isso na questão 3.1.3). Em geral, uma reta pode ser escrita como

r :   ( x 0 , y 0 , z 0 ) + t ( x , y , z )

onde v → = ( x , y , z ) é o vetor diretor da reta. Se a projeção da reta inteira sobre o plano x y é só um ponto ( P r = ( x 0 , y 0 , 0 ) ), quer dizer que a intercessão da reta com o plano x y é apenas o ponto, ou seja, a reta é perpendicular ao plano.

Passo 2

O plano x y tem equação z = 0 , ou seja, seu vetor normal é n → = ( 0,0 , 1 ) . Já que o vetor diretor da reta é perpendicular ao plano, então ele deve ser igual a normal: v → = ( x , y , z ) = ( 0,0 , 1 ) . Assim, vemos que a reta é simplesmente

r :   ( x 0 , y 0 , 0 ) + t ( 0,0 , 1 )

Resposta

Veja a resolução acima.

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