Seja f : Z   x   Z →   Z   x   Z dada por f x , y = m x + n y , p x + q y .

a) calcule m , n , p , q de modo que f seja um homomorfismo do anel Z   x   Z nele mesmo.

b) em quais desses casos f é um isomorfismo de Z   x   Z ?

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra moderna do Gerson Iezzi seja f : Z   x   Z →   Z   x   Z dada por f x , y = m x + n y , p x + q y .

a) calcule m , n , p , q de modo que f seja um homomorfismo do anel Z   x   Z nele mesmo.

b) em quais desses casos f é um isomorfismo de Z   x   Z ?

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Dado: f : Z   x   Z →   Z   x   Z com f x , y = ( m x + n y ,   p x + q y )

Temos que na letra (a) para calcular m , n , p , q devemos fazer o seguinte,

Analisar as possibilidades, que vão ser 9 e a partir delas definir cada uma como,

1 )   m = n = p = q = 0

2 )   m = p = q = 0     e     n = 1

3 )   n = p = q = 0     e   m = 1

4 )   m = n = p = 0     e     q = 1

5 )   m = n = q = 0     e   p = 1

6 )   m = p = 0     e   n = q = 1

7 )   m = q = 0     e     n = p = 1

8 )   n = p = 0     e     m = q = 1

9 )   n = q = 0     e   m = p = 1

Já na letra (b) temos só que analisar dado as possibilidades no item (a) quais são automorfismo sendo a 7 e 8 possibilidades.

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) 1 )   m = n = p = q = 0

2 )   m = p = q = 0     e     n = 1

3 )   n = p = q = 0     e   m = 1

4 )   m = n = p = 0     e     q = 1

5 )   m = n = q = 0     e   p = 1

6 )   m = p = 0     e   n = q = 1

7 )   m = q = 0     e     n = p = 1

8 )   n = p = 0     e     m = q = 1

9 )   n = q = 0     e   m = p = 1

b) 7 e 8 possibilidades