Enunciado

Seja T : V → V um operador linear não-inversível. Os vetores não nulos do núcleo de T são vetores próprios? Em caso afirmativo, determinar o valor próprio associado e, em caso negativo, justificar.

Passo 1

Esse é um problema bem simples e puramente teórico, você não vai fazer nenhuma conta!!!

É dado um operador linear não inversível e pergunta-se se os vetores não nulos do núcleo são vetores próprios. Para responde essa pergunta, temos que lembrar o que é núcleo:

O núcleo de um operador linear é o conjunto dos vetores do domínio cuja imagem é o vetor nulo. Desta forma, o núcleo sempre será composto pelo vetor nulo e pode ser composto por outros vetores. São esses vetores que nos interessam!!!

Passo 2

Bom, se v ∈ N ( T ) , temos que

T v = 0

Assim, podemos escrever essa equação como

T v = 0 ⋅ T ( v )

Note que v é um autovetor de T cujo autovalor é λ = 0 . Portanto, os vetores não nulos do núcleo são vetores próprios com autovalor 0 .

Resposta

Os vetores não nulos do núcleo são vetores próprios com autovalor 0 .

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Suponha que λ seja autovalor de T : V → V com autovetor v e α um número não nulo. Ache os autovalores e autovetores de α T .
Ache bases para os auto-espaços associados a cada autovalor do operador T: R n → R n , definido por T X = A X , para todo X ∈ R n , para cada matriz:a) 2 0 0 3 - 1 0 0 4 3 b) 2 3 0 0 1 0 0 0 2 c) 1 2
Ache bases para os auto-espaços associados a cada autovalor do operador T: R n → R n , definido por T X = A X , para todo X ∈ R n , para cada matriz:a) 2 0 0 3 - 1 0 0 4 3 b) 2 3 0 0 1 0 0 0 2 c) 1 2
Ache bases para os auto-espaços associados a cada autovalor do operador T: R n → R n , definido por T X = A X , para todo X ∈ R n , para cada matriz:a) 2 0 0 3 - 1 0 0 4 3 b) 2 3 0 0 1 0 0 0 2 c) 1 2
Ache bases para os auto-espaços associados a cada autovalor do operador T: R n → R n , definido por T X = A X , para todo X ∈ R n , para cada matriz:a) 2 0 0 3 - 1 0 0 4 3 b) 2 3 0 0 1 0 0 0 2 c) 1 2