Sejam u   =   ( 1 ,   1 ,   0 ) ,   v   =   ( 2 ,   0 ,   1 ) ,   w 1   =   3 u   -   2 v ,   w 2   =   u   +   3 v e   w 3   =   i   +   j   -   2 k . Determine o volume do paralelepípedo definido por w 1 , w 2 e   w 3 .

Passo 1

Vamos determinar os vetores w 1 , w 2 e   w 3 :

w 1   =   3 u   -   2 v =   3 ( 1,1 , 0 ) - 2 ( 2,0 , 1 ) =   ( 3,3 , 0 ) - ( 4,0 , 2 ) = ( - 1,3 , - 2 )

  w 2   =   u   +   3 v = ( 1,1 , 0 ) + 3 ( 2,0 , 1 ) = ( 1,1 , 0 ) + ( 6,0 , 3 ) = ( 7,1 , 3 )

w 3   =   i   +   j   -   2 k = ( 1,1 , - 2 )

Para calcular o volume de um paralelepípedo definido por três vetores u ,   v   e   w   temos que fazer o produto misto (produto vetorial e escalar) desses vetores como na fórmula: V = | ( u × v ) . w | .

Passo 2

Vamos começar pelo produto vetorial:

O produto vetorial de u = ( a , b , c )   e   v = ( x , y , z ) é dado por :

Então, para u   = w 1 , v   =   w 2 temos:

w 1 × w 2 = ( ( 3.3 ) - ( - 2.1 ) ) i + ( ( - 2.7 ) - ( - 1.3 ) ) j + ( ( - 1.1 ) - ( 3.7 ) ) k = ( 11 , - 11 , - 22 )

Passo 3

Agora vamos para o produto escalar:

O produto escalar de dois vetores t = ( a , b , c )   e   r = ( x , y , z ) é dado por t . r = a x + b y + c z

Então, para t = w 1 × w 2 = ( 11 , - 11 , - 22 ) e r = w 3 =   ( 1 ,   1 , - 2 ) temos: t . r = 11 - 11 + 44 = 44

V = | ( w 1 × w 2 ) . w 3 | = | t . w 3 | = | 44 | = 44

Resposta

V = 44