Sejam a → e b → l.i., A B → = - 3 a → +   b → ,   A C → =   a   → + 2 b → e A D →   = n a →   - b →   .

  1. Determine n para que B C → e B D → sejam l.d..
  2. Interprete geometricamente, fazendo uma figura.

Passo 1

  1. Galera, antes de determinar as condições para que B C → e B D → sejam l.d., precisamos determinar B C → e B D → , claro! Então, vamos lá:
  2. B C → = B A → + A C → = - A B → + A C → = - ( - 3 a → +   b → ) + a   → + 2 b → = 3 a → -   b → + a   → + 2 b →

    B C → = 4 a → +   b →

    B D → = B A → + A D → = - A B → + A D → = - ( - 3 a → +   b → ) + n a →   - b → = 3 a → -   b → + n a →   - b →

    B D → = ( 3 + n ) a → - 2   b →

    Para que esses dois vetores sejam l.d., basta que um seja múltiplo do outro

    B C → = α B D → ⇒ 4 a → +   b → = α ( ( 3 + n ) a → - 2   b → )

    ⇒ ( 4 - α ( 3 + n ) ) a → = - ( 1 + 2 α ) b →

    Como a → e b → são l.i., a equação acima só será verdadeira se tivermos um vetor nulo em ambos os lados. Nesse caso, temos que ter

    1 + 2 α = 0 ⇒ α = - 1 2  

    4 - α ( 3 + n ) = 0 ⇒ 4 + 1 2 ( 3 + n ) = 0

    ⇒ 11 2 + 1 2 n = 0 ⇒ n = - 11

    Passo 2

  3. Agora, vamos desenhar vetores a → e b → l.i. e obter os demais vetores A B → = - 3 a → +   b → ,   A C → =   a   → + 2 b → e A D →   = - 11 a →   - b →   a partir deles:

Na segunda figura, vemos claramente que B C → e B D → são l.d..

Resposta

  1. n = - 11