Sejam r {   x - 1 k = y + 1 2 = z - m 2 e π { 2 x + k   y - 8 z + 6 = 0 . Calcule k e m para que a reta r esteja contida no plano π .

Passo 1

E aí, gente? Tudo tranquilo?

Vamos começar a questão reescrevendo a equação da reta na forma paramétrica:

R   : ( 1 + k λ , - 1 + 2 λ ,   m   + 2 λ )

Com isso, podemos obter pontos que estão contidos na reta. Por exemplo, para λ = 0 , temos A = ( 1 , - 1 , m ) e para λ = 1 temos B = ( 1 + k , 1 , m + 2 ) . Se esses pontos estiverem contidos no plano, então a reta também estará. Assim, vamos substituir as coordenadas dos dois pontos na equação do plano e resolver o sistema de equações:

2 ⋅ 1 + k ⋅ ( - 1 ) - 8 ⋅ m + 6 = 0   ⇒ - k - 8 m = - 8 ⇒ k = 8 - 8 m

2 ⋅ ( 1 + k )   +   k ⋅ 1 - 8 ⋅ ( m + 2 )   + 6 = 0 ⇒ 3 k - 8 m = 8

Substituindo k = 8 - 8 m na segunda equação, obtemos

3 ⋅ ( 8 - 8 m ) - 8 m = 8  

⇒ 24 - 24 m - 8 m = 8  

⇒ - 32 m = - 16  

⇒ m = 1 2  

Agora, substituímos m = 1 2 na relação que achamos para k ,

k = 8 - 8 m = 8 - 4 = 4

Assim, k = 4 e m = 1 2 são os valores para que a reta r esteja contida no plano π .

Resposta

k = 4 e m = 1 2