Sejam , e . (a) Ache o centro e o raio da circunferência que passa por , e . (b) Escreva a circunferência como interseção de um plano e de uma superfície esférica de raio 3.
Passo 1
- Fala, pessoal! O primeiro item dessa questão pede que achemos o centro e o raio de uma circunferência. Para isso, vamos utilizar do fato que a distância do centro a borda será a mesma e que os pontos , e estão nessa borda. Assim,
Então, vamos começar com . Vamos substituir valores:
Agora vamos fazer e utilizar o fato de que . Assim, temos:
Logo, descobrimos que e o raio será
O próximo passo é achar o plano que contém a circunferência e substituir o valor de para descobrirmos e o raio.
Passo 2
Então, vamos partir de uma equação genérica para o plano:
Substituindo os pontos , e , teremos três equações de plano:
Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos
Agora, as duas primeiras equações se tornam uma única equação e nos resta
Agora, subtraindo a primeira da segunda, obtemos
Então, as duas equações restantes se transformam numa única equação:
Basicamente, conseguimos expressar todos os coeficientes em termos de . Então, a equação do plano fica
Como esse plano contém a circunferência, então pertence ao plano. Daí
Finalmente, temos que o centro e o raio são:
e
Passo 3
b) Esse é bem parecido com o item anterior. Começamos com uma equação genérica para a superfície esférica e para o plano. Mas, já descobrimos o plano no passo anterior. Com isso, temos uma circunferência
No entanto, para os pontos dados, vimos que . Com isso, ficamos com a seguinte equação da esfera
Substituindo qualquer um dos pontos , ou , acharemos os valores possíveis para . Então, vamos utilizar :
Vixe, temos duas respostas. Mas calma, sabemos que . Então, vamos verificar para qual valor de recuperamos essa informação. Para isso, teremos os centros e e sabemos que:
Para , temos:
Para , vem que
Portanto, temos
e
Então, as duas respostas são válidas.
Resposta
ou