Sejam A = ( 1,2 , 2 ) , B = ( 2,1 , 2 ) e C = ( 2,2 , 1 ) . (a) Ache o centro e o raio da circunferência que passa por A , B e C . (b) Escreva a circunferência como interseção de um plano e de uma superfície esférica de raio 3.

Passo 1

  1. Fala, pessoal! O primeiro item dessa questão pede que achemos o centro e o raio de uma circunferência. Para isso, vamos utilizar do fato que a distância do centro C ' =   ( a , b , c ) a borda será a mesma e que os pontos A = ( 1,2 , 2 ) , B = ( 2,1 , 2 ) e C = ( 2,2 , 1 ) estão nessa borda. Assim,

d ( C ' , A ) = d ( C ' , B ) = d ( C ' , C ) = r '

Então, vamos começar com d ( C ' , A ) = d ( C ' , B ) . Vamos substituir valores:

( 1 - a ) 2 + ( 2 - b ) 2 + ( 2 - c ) 2 = ( 2 - a ) 2 + ( 1 - b ) 2 + ( 2 - c ) 2

⇒ 1 - 2 a + 4 - 4 b + 4 - 4 c = 4 - 4 a + 1 - 2 b + 4 - 4 c

⇒ - 2 a - 4 b = - 4 a - 2 b

⇒ 2 a = 2 b

⇒ a = b

Agora vamos fazer d ( C ' , B ) = d ( C ' , C ) e utilizar o fato de que a = b . Assim, temos:

( 2 - a ) 2 + ( 1 - a ) 2 + ( 2 - c ) 2 = ( 2 - a ) 2 + ( 2 - a ) 2 + ( 1 - c ) 2

⇒ 4 - 4 a + 1 - 2 a + 4 - 4 c =   8 - 8 a + 1 - 2 c

⇒ - 4 a - 2 a - 4 c = - 8 a - 2 c

⇒ 2 a = 2 c

⇒ a = c

Logo, descobrimos que C ' = ( a , a , a ) e o raio será

r ' =   d ( C ' , C ) = ( 2 - a ) 2 + ( 2 - a ) 2 + ( 1 - a ) 2

⇒ r ' = 2 ( 4 - 4 a + a 2 ) + 1 - 2 a + a 2

⇒ r ' = 9 - 10 a + 3 a 2

O próximo passo é achar o plano que contém a circunferência e substituir o valor de C ' para descobrirmos a e o raio.

Passo 2

Então, vamos partir de uma equação genérica para o plano:

A x + B y + C z + D = 0

Substituindo os pontos A = ( 1,2 , 2 ) , B = ( 2,1 , 2 ) e C = ( 2,2 , 1 ) , teremos três equações de plano:

A + 2 B + 2 C + D = 0

2 A + B + 2 C + D = 0

2 A + 2 B + C + D = 0

Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos

2 A + B + 2 C + D - A - 2 B - 2 C - D = 0

⇒ A - B = 0

⇒ A = B

Agora, as duas primeiras equações se tornam uma única equação e nos resta

3 A + 2 C + D = 0

4 A + C + D = 0

Agora, subtraindo a primeira da segunda, obtemos

4 A + C + D - 3 A - 2 C - D = 0 ⇒ A - C = 0 ⇒ A = C

Então, as duas equações restantes se transformam numa única equação:

5 A + D = 0 ⇒ D = - 5 A

Basicamente, conseguimos expressar todos os coeficientes em termos de A . Então, a equação do plano fica

A x + A y + A z - 5 A = 0 ⇒ x + y + z - 5 = 0

Como esse plano contém a circunferência, então C ' pertence ao plano. Daí

⇒ a + a + a - 5 = 0   ⇒ a = 5 3

Finalmente, temos que o centro e o raio são:

⇒ C ' =   ( a , a , a ) = ( 5 3 , 5 3 , 5 3 )

e

⇒ r ' = 9 - 10 a + 3 a 2 = 9 - 50 3 + 25 3 = 9 - 75 9   = 6 3

Passo 3

b) Esse é bem parecido com o item anterior. Começamos com uma equação genérica para a superfície esférica e para o plano. Mas, já descobrimos o plano no passo anterior. Com isso, temos uma circunferência

( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 + ( z - c ) 2 = 9

x + y + z - 5 = 0

No entanto, para os pontos dados, vimos que a = b = c . Com isso, ficamos com a seguinte equação da esfera

( x - a ) 2 + ( y - a ) 2 + ( z - a ) 2 = 9

Substituindo qualquer um dos pontos A = ( 1,2 , 2 ) , B = ( 2,1 , 2 ) ou C = ( 2,2 , 1 ) , acharemos os valores possíveis para a . Então, vamos utilizar A = ( 1,2 , 2 ) :

( 1 - a ) 2 + ( 2 - a ) 2 + ( 2 - a ) 2 = 9

⇒ 1 - 2 a + a 2 + 4 - 4 a + a 2 + 4 - 4 a + a 2 = 9

⇒ 3 a 2 - 10 a = 0

⇒ a ( 3 a - 10 ) = 0

⇒ a = 0   o u   a = 10 3

Vixe, temos duas respostas. Mas calma, sabemos que r = 3 . Então, vamos verificar para qual valor de a recuperamos essa informação. Para isso, teremos os centros ( 0,0 , 0 ) e ( 10 3 , 10 3 , 10 3 ) e sabemos que:

r =   d ( C , A ) =   ( 1 - a ) 2 + 2 ⋅ ( 2 - a ) 2

Para ( 0,0 , 0 ) , temos:

r =   ( 1 - 0 ) 2 + 2 ⋅ ( 2 - 0 ) 2   =   1 + 8   =   3

Para ( 10 3 , 10 3 , 10 3 ) , vem que

r =   ( 1 - 10 3 ) 2 + 2 ( 2 - 10 3 ) 2   =   49 9 + 32 9   = 81 9   = 3

Portanto, temos

x 2 + y 2 + z 2 = 9

e

( x - 10 3 ) 2 + ( y - 10 3 ) 2 + ( z - 10 3 ) 2 = 9

Então, as duas respostas são válidas.

Resposta

( 5 3 , 5 3 , 5 3 )   ;   6 3 ;

x 2 + y 2 + z 2 = 9

x + y + z - 5 = 0

ou

( x - 10 3 ) 2 + ( y - 10 3 ) 2 + ( z - 10 3 ) 2 = 9

x + y + z - 5 = 0