Sejam A   e   B anéis com unidade. Ache os divisores próprios de zero de A   x   B , bem como os elementos inversiveis desse anel . Pode A   x   B ( produto direto) ser um corpo?

Passo 1

Saudações galera! Tudo bem?

Essa questão é totalmente teórica, pois se trata de uma demonstração.

Tá preparado?

Bora lá então!

Passo 2

Seja e   ∈   A uma unidade.

Portanto, existe a y   ∈   A tal que e   ·   y   =   y   ·   e   =   1 .

Suponha e   ·   w   =   z para algum w   ∈   A . ( z é uma identidade adicional)

y   ·   ( e   ·   w )   =   y   ·   z   =   z .

Por outro lado,   y   ·   ( e   ·   w )   =   ( y   ·   e )   ·   w   =   1   ·   w   =   w .

Como w   =   z ,   e não é um divisor próprio de zero.

e uma unidade em um anel A onde, não pode ser um divisor próprio de zero.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)