Sejam A um anel integridade e φ : A → A um isomorfismo de anéis. Prove que:

a) se ρ ∈ A é um elemento primo, então φ ( ρ ) também é primo;

b) se ρ ∈ A é um elemento irredutível, então φ ( ρ ) também é irredutível.

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra moderna do Gerson Iezzi seja A um anel integridade e φ : A → A um isomorfismo de anéis. Prove que:

a) se ρ ∈ A é um elemento primo, então φ ( ρ ) também é primo;

b) se ρ ∈ A é um elemento irredutível, então φ ( ρ ) também é irredutível.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galera para determinar um anel de integridade com φ : A → A um isomorfismo,

Temos na letra (a) se ρ ∈ A um elemento primo, com φ ( ρ ) que é primo temos,

φ a + b = φ a ⊕ φ ( b )

Com,

φ a ⊕ φ b = a + b - = a - + b -

Definindo φ a   e     φ ( b ) como,

φ a = φ a + n       e       φ b = φ ( b + n )

Já na letra (b) para ρ   e ∈ como elemento irredutível de φ ( ρ ) temos,

φ ρ - φ b = φ a ⊕ φ - b = φ a - b = φ a - b ∈ R

Definindo a representação para irredutível como,

φ a - b = φ a ∈ φ ( b )

Logo,

φ a ∈ φ ( b )

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) φ a = φ a + n       e       φ b = φ ( b + n )

b) φ a ∈ φ ( b )