Sejam f 1 , f 2 , f 3 , f 4 aplicações de R 2   e m   R 2 definidas da seguinte maneira:

f 1 x , y = x , y ,   f 2 x , y = - x , y ,   f 3 x , y = x , - y   e     f 4 x , y = - x , - y

Se G = f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , mostre que ( G , ∘ ) é um grupo. Obter F ∈ G tal que f 2 ∘ f ∘ f 3 = f 4 .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra moderna do Gerson Iezzi seja f 1 , f 2 , f 3 , f 4 aplicações de R 2   e m   R 2 definidas da seguinte maneira:

f 1 x , y = x , y ,   f 2 x , y = - x , y ,   f 3 x , y = x , - y   e     f 4 x , y = - x , - y

Se G = f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , mostre que ( G , ∘ ) é um grupo. Obter F ∈ G tal que f 2 ∘ f ∘ f 3 = f 4 .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que,

f 1 , f 2 , f 3 , f 4 é definido por,

f 1 x , y = x , y ,   f 2 x , y = - x , y ,   f 3 x , y = x , - y   e     f 4 x , y = - x , - y

Vamos ter que,

f ∘ g a = f g a = f c = c

Ficando o grupo ( G , ∘ ) representado por,

g ∘ f a = g f a = f ∘ = c

Podendo dizer que f ≠ g , logo

f 2 ∘ f ∘ f 3 = f 4

Ficando,

f = f 2 ∘ f 4 ∘ f 3

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

f = f 2 ∘ f 4 ∘ f 3