Sejam as aplicações f : E → F , g : F → E e h : F → G .

Prove que se h é injetora e h ∘ g = h ∘ f , então g = f.

Passo 1

Fala galera, bora começar esse exercício de matemática discreta!

Se h é injetora, significa que os elementos de seu conjunto têm imagens diferentes. Tomando um x ∈ F resultado de h(g(x)) e x ' ∈ E resultado de h(f(x)), caso h seja injetora x e x’ representam o mesmo elemento por causa da condição:

h g x = h f x

⇒ x = x '

⇒ g x = f x

Esses dois valores só podem ser iguais se as funções são as mesmas, pois para a função ser injetora dois elementos não podem apresentar a mesma imagem.

E se h não for injetora? Então x e x’ não são iguais e as funções não são as mesmas, isto é, h ∘ g ≠ h ∘ f , o que é um absurdo pois foi dito que são iguais.

Resposta

Demonstração