Sejam as aplicações e .
Prove que:
- Se é injetora, então f é injetora;
- Se é sobrejetora, então g é sobrejetora.
Passo 1
Fala galera, bora começar esse exercício de matemática discreta!
- Seja a aplicação tal que leva os elementos do conjunto E aos elementos do conjunto F. então, vamos supor por absurdo dois elementos distintos de E, x e x’, os seus correspondentes em F são diferentes, isto é:
- Vamos escrever o que sabemos, já que é sobrejetora, tomando e :
Sabemos também que a aplicação leva o contradomínio de f ao contradomínio de g. Nesse caso:
Como foi dado que a função acima é injetora, então
Dessa forma, teríamos , que é um absurdo pois supomos que eram distintos. Portanto podemos concluir que f é injetora, pois x é diferente de x’.
Passo 2
Podemos desmembrar isso:
E assim concluir que:
Ou seja, sendo sobrejetora, g também é sobrejetora, pois existe um z para qualquer y definido por g(x).
Resposta
Demonstração