Sejam as aplicações f : E → F e g : F → E .

Prove que:

  1. Se g ∘ f é injetora, então f é injetora;
  2. Se f ∘ g é sobrejetora, então g é sobrejetora.

Passo 1

Fala galera, bora começar esse exercício de matemática discreta!

  1. Seja a aplicação f : E → F tal que leva os elementos do conjunto E aos elementos do conjunto F. então, vamos supor por absurdo dois elementos distintos de E, x e x’, os seus correspondentes em F são diferentes, isto é:
  2. f x ≠ f x '

    Sabemos também que a aplicação g ∘ f leva o contradomínio de f ao contradomínio de g. Nesse caso:

    g ∘ f   : F → E

    Como foi dado que a função acima é injetora, então

    g ∘ f   x ≠ g ∘ f x '   e   f x ≠ f x '

    Dessa forma, teríamos x = x ' , que é um absurdo pois supomos que eram distintos. Portanto podemos concluir que f é injetora, pois x é diferente de x’.

    Passo 2

  3. Vamos escrever o que sabemos, já que f ∘ g é sobrejetora, tomando x , y ∈ F e z ∈ E :

∀ z ∈ E , ∃ x ∈ E │   f ∘ g   x = z

Podemos desmembrar isso:

f ∘ g x = z → f g x = z → f y ∧ y = g ( x )

E assim concluir que:

∃ y ∈ F │ f y = z

∃ x ∈ E │ y = g x

Ou seja, sendo f ∘ g sobrejetora, g também é sobrejetora, pois existe um z para qualquer y definido por g(x).

Resposta

Demonstração