Sejam A B →   = ( 3,1 , - 2 ) , A C →   = ( 0,2 , - 1 ) e A D → =   ( 1,1 , 1 ) .

  1. Calcule o volume do paralelepípedo determinado por esses vetores.
  2. Calcule a área do triângulo B C D .
  3. Calcule a distância do ponto A ao plano B C D .

Passo 1

  1. Aqui, precisamos lembrar que o volume vai ser dado pelo produto misto. Então, precisamos calcular
  2. V = | ( A B → ∧ A C → ) ⋅ A D → |

    Vamos começar pelo produto vetorial

    A B → ∧ A C → =

    ⎜                 i →                             j →                               k   →   ⎜

    ⎜               3                           1                   - 2   ⎜ = ( - 1 + 4 ) i → - ( - 3 + 0 ) j → + ( 6 - 0 ) k →   = ( 3,3 , 6 )

    ⎜               0                           2               - 1       ⎜

    Agora o produto interno:

    ( A B → ∧ A C → ) ⋅ A D → = ( 3,3 , 6 ) ⋅ ( 1,1 , 1 ) = 3 + 3 + 6 = 12

    Então, V = | ( A B → ∧ A C → ) ⋅ A D → | = 12 .

    Passo 2

  3. Para calcular a área do triângulo B C D , precisamos da fórmula
  4. A = 1 2 | C B → ∧ C D → |

    Vamos calcular esses vetores? Bora lá!

    C B → = C A → + A B → = - A C → + A B → = - ( 0,2 , - 1 ) + ( 3,1 , - 2 ) = ( 3 , - 1 , - 1 )

    C D → = C A → + A D → = - A C → + A D → = - ( 0,2 , - 1 ) + ( 1,1 , 1 ) = ( 1 , - 1,2 )

    O produto vetorial desses vetores é:

    C B → ∧ C D → =

    ⎜                 i →                             j →                               k   →   ⎜

    ⎜               3               - 1               - 1   ⎜ = ( - 2 - 1 ) i → - ( 6 + 1 ) j → + ( - 3 + 1 ) k →   = ( - 3 , - 7 , - 2 )

    ⎜               1               - 1                             2   ⎜

    Agora podemos calcular a área do triângulo:

    A = 1 2 | C B → ∧ C D → | = 1 2 9 + 49 + 4 = 1 2 62

    Passo 2

  5. A distância do ponto A ao plano B C D é igual a altura do paralelepípedo, que é dada quando dividimos o volume total do paralelepípedo (que calculamos no item a)) pela a área da base (duas vezes a área do triângulo que calculamos no item b)):

h = V A = 12 62 = 12 62 62 = 6 31 62

Resposta

  1. V = 12
  2. A = 1 2 62
  3. h = 6 31 62