Sejam C a circunferência de centro 1,2 e raio 3 e r a reta definida pelos pontos A 6,6 e B ( 2,10 ) . Determine:

a) em C um ponto equidistante de A e B;

b) em r o ponto mais próximo de C.

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão sabendo que o centro da circunferência vale ( 1,2 ) e raio 3 e que a reta é definida pelos pontos A 6,6     e     B ( 2,10 ) tendo que determinar que

a) em C um ponto equidistante de A e B;

b) em r o ponto mais próximo de C.

Passo 2

Na letra (a) sendo a reta definida por,

r → m = 10 - 6 2 - 6 = - 1

y - 10 = - 1 x - 2 → y = x + 12

O ponto médio M   d e   A B → M ( 4,8 )

E a reta mediatriz de A B → m ' = 1 → y - 8 = 1 x - 4 → y = x + 4

( x - 1 ) 2 + y - 2 2 = 3 2 → x - 1 2 = x + 4 - 2 2 = 9

x 2 - 2 x + 1 + x 2 + 4 x + 4 = 9 → 2 x 2 + 2 x - 4 = 0

x 2 + x - 2 = 0

Realizando bhaskara vamos ter que,

x = - 2     e     x = 1

Para x = - 2 → y = 2 → P ( - 2,2 )

Para x = 1 → y = 5 → Q ( 1 , 5 )

Passo 3

Já na letra (b) sendo o centro da circunferência C ( 1,2 ) e o raio r = 3 a reta

r :     A 6,6       e       B ( 2,10 )

F x = a x + b

F 6 = 6 a + b = 6

F 2 = 2 a + b = 10

4 a = - 5 - 2 + b = 10

a = - 1 b = 12

Com isso a equação deduzida de r vai ser,

y = - x + 12 , com coeficiente angular m 1 = - 1

A equação da reta s perpendicular passando pelo centro C ( 1,2 ) é:

m 1 . m 2 = - 1 y - 2 = 1 ( x - 1 )

m 2 = - 1 - 1 = 1 y - 2 = x + 1

Com isso, o ponto P mais próximo de C é a interseção de r e s

r : y = - x + 12 s : y = x + 1 →   - x + 12 = x + 1 → 2 x = 11 → x = 11 2

y = 11 2 + 1 = 13 2

P 11 2 , 13 2

Resposta

  1. P ( - 2,2 )
  2. Q ( 1,5 )

  3. P 11 2 , 13 2