Sejam u = (x_1 , y_1) e v = (x_2 , y_2) . Demonstre que

||u||^2 + ||v||^2 - ||u - v||^2 = 2 u . v

Onde u . v indica o número x_1 x_2 + y_1 y_2

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão ele pede para demonstrar que

||u||^2 + ||v||^2 - ||u - v||^2 = 2 u . v

Dado que,

u = (x_1 , y_1)

v = (x_2 , y_2)

Onde u . v indica o número x_1 x_2 + y_1 y_2

Passo 2

Primeiramente medida vai ser mudar a notação u . v = < u , v >

< u , v > = x_1 x_2 + y_1 y_2

z = (x_3 , y_3)

z + u = ( x_3 + x_1 , y_3 + y_1 )

Vamos usar a seguinte propriedade:

1 ) < u + v , v > = < u , v > + < z , v >

Com isso,

< u + v , v > = x_2 (x_3 + x_1) + y_2 ( y_1 + y_3 )

< u + v , v > = x_2 x_3 + x_2 x_1 + y_2 y_1 + y_2 y_3 = < u v > + < z v >

Passo 3

2) < u + v > = x^2 + y^2 = ||u||^2

3) < u , v > = x_1 x_2 + y_1 y_2 = x_2 x_1 + y_2 y_1 = < v , u >

4) k < u , v > = k (x_1 x_2 + y_1 y_2) = k x_1 x_2 + k y_1 y_2 = < k u , v > = < u , k v >

Finalizando vamos ter que,

||u||^2 + ||v||^2 - ||u - v||^2 = 2 u v , mudando a notação temos que,

< u , u > + < v , v > - < u - v , u - v > = 2 < u , v >

-

Resposta

2 < u , v >