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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.3 - Ex. 61

Sejam a → = i → + 2 j → - 3 k → e b → = 2 i → + j → - 2 k → ,

  1. Determine um vetor unitário, paralelo a a → + b → .
  2. Determine o cosseno do ângulo que a → faz b → .

Passo 1

  1. Fala, galera! Nós podemos escrever a → e b → numa notação que estamos mais acostumados

    2. a → = i → + 2 j → - 3 k → = ( 1,2 , - 3 )

    b → = 2 i → + j → - 2 k → = ( 2,1 , - 2 )

    Assim,

    a → + b → = ( 1,2 , - 3 ) + ( 2,1 , - 2 ) = ( 3,3 , - 5 )

    Um vetor u → paralelo a a → + b → deve satisfazer

    u → = α ( a → + b → ) = α ( 3,3 , - 5 )

    Para encontrar α , só precisamos usar a condição de que o vetor que queremos deve ser unitário:

    | u → | = 1 ⇒ α 2 ( 9 + 9 + 25 ) = 1 ⇒ 43 α 2 = 1 ⇒ α = ± 1 43

    Assim,

    u → = ± 1 43 ( 3,3 , - 5 )

    Passo 2

  2. Para obter o cosseno entre os dois vetores, só precisamos substituir a → = ( 1,2 , - 3 ) e b → = ( 2,1 , - 2 ) na fórmula

c o s θ = a → ⋅ b → | a → | | b → | = ( 1,2 , - 3 ) ⋅ ( 2,1 , - 2 ) 1 + 4 + 9 4 + 1 + 4 = 2 + 2 + 6 14 9 = 10 3 14

Muito bem, galera! Por enquanto é só!

Resposta

  1. u → = ± 1 43 ( 3,3 , - 5 )
  2. c o s θ = 10 3 14