Sejam u   =   ( 2 ,   1 ,   - 3 )   e   v   =   ( 1 ,   - 2 ,   1 ) .

a) Determine um vetor unitário simultaneamente perpendicular a u   e   v .

b) Determine um vetor w perpendicular a u   e   v e tal que | | w | |   =   5 .

Passo 1

Lembrando que   u   e   v são perpendiculares se, e somente se, u   .   v   =   0 . Ou seja, u = ( a , b , c )   e   v = ( d ,   e ,   f ) temos que u . v = a d + b e + c f = 0 .

E o módulo dos vetores? Como calcular? t = ( a , b , c ) , o módulo de t será | | t | | = a 2 + b 2 + c 2 .

Passo 2

  1. Um vetor unitário é aquele cujo módulo é 1. Vamos supor um vetor r = ( a , b , c ) unitário, ou seja | | r | | = a 2 + b 2 + c 2 = 1   ( 1 ) .
  2. Para esse vetor ser perpendicular a u   =   ( 2 ,   1 ,   - 3 )   e   v   =   ( 1 ,   - 2 ,   1 ) simultâneamente ( u . r ) = 0   e   ( v . r ) = 0 .

    Ou seja,

    ( u . r ) = 2 a + b - 3 c = 0   ( 2 ) e ( v . r ) = a - 2 b + c = 0   ( 3 )

    Somando a equação ( 2 ) com - 2 vezes a equação ( 3 ) temos:

    5 b - 5 c = 0 ,

    b = c   ( 4 )

    Porém, somando 2 vezes a equação ( 2 ) com a equação ( 3 )   temos:

    5 a - 5 c = 0

    a = c   ( 5 )

    Substituindo ( 4 )   e   ( 5 ) em ( 1 ) :

    | | r | | = c 2 + c 2 + c 2 = 1

    3 c 2 = 1

    c = a = b = ± 1 3 = ± 3 3

    Ou seja, os vetores da forma ( 3 3 , 3 3 , 3 3 ) ou ( - 3 3 , - 3 3 , - 3 3 ) , são unitários e simultaneamente perpendicular a u   e   v .

    Passo 3

  3. Vamos supor um vetor w = ( a , b , c ) tal que | | w | | = a 2 + b 2 + c 2 = 5   ( 1 ) .

Para esse vetor ser perpendicular a u   =   ( 2 ,   1 ,   - 3 )   e   v   =   ( 1 ,   - 2 ,   1 ) simultâneamente ( u . r ) = 0   e   ( v . r ) = 0 .

Ou seja,

( u . r ) = 2 a + b - 3 c = 0   ( 2 ) e ( v . r ) = a - 2 b + c = 0   ( 3 )

Somando a equação ( 2 ) com - 2 vezes a equação ( 3 ) temos:

5 b - 5 c = 0 ,

b = c   ( 4 )

Porém, somando 2 vezes a equação ( 2 ) com a equação ( 3 )   temos:

5 a - 5 c = 0

a = c   ( 5 )

Substituindo ( 4 )   e   ( 5 ) em ( 1 ) :

| | w | | = c 2 + c 2 + c 2 = 5

3 c 2 = 25

c = a = b = ± 25 3 = ± 5 3 3

Ou seja, os vetores da forma ( 5 3 3 , 5 3 3 , 5 3 3 ) ou ( - 5 3 3 , - 5 3 3 , - 5 3 3 ) , são simultaneamente perpendicular a u   e   v e têm módulo igual a 5.

Resposta

a ) ( 3 3 , 3 3 , 3 3 )   o u   ( - 3 3 , - 3 3 , - 3 3 )

b )   ( 5 3 3 , 5 3 3 , 5 3 3 ) ou ( - 5 3 3 , - 5 3 3 , - 5 3 3 )