Sejam E e F dois conjuntos totalmente ordenados pela relação . Sejam α = x , y e β = ( x ' , y ' ) elementos de E × F , em que está definida a relação R da forma seguinte:

α R β   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   ( x ≤ x ' o u   ( x = x '   e   y ≤ y ' ) )

Prove que R é uma relação de ordem total em E × F .

Passo 1

Vamos comigo no exercício complementar pedrada na mente!

Já podemos concluir de cara que a relação é reflexiva pois dado x ,   y ∈ C com x e y tal como descrito no enunciado, então:

α R α ,   p o i s   x = x   e   y ≤ y '

E a transitividade é atestada com o um y S z tal que z = f + g i ∈ C , assim:

  a < c   o u   ( a = c   e   b ≤ d ) ,   p a r a   x S y

c < f   o u   c = f   e   d ≤ g ,   p a r a   y S z

Dessa forma, a = f e, analogamente, b ≤ g , implicando que x S z . Dessa forma concluímos que a relação é de ordem parcial.

Passo 2

Supondo agora que α R β então β R α , temos que as seguintes relações são válidas:

x ≤ x '   o u   x = x '   e   y ≤ y '   d e   α R β

x ' ≤ x   o u   x ' = x   e   y ' ≤ y   d e   β R α

Mas isso só pode existir se ( x = x '   e   y ≤ y ' ) e ( x ' = x   e   y ' ≤ y ) , logo ela é simétrica, pois x’ = x em ambos os casos.

Passo 3

Para provar a transitividade temos que considerar α R β e β R γ , tendo γ = x ' ' , y ' ' ∈ E × F então:

x ≤ x '   o u   ( x = x '   e   y ≤ y ' ) ,   p a r a   α R β

x ' ≤ x ' '   o u   x ' = x ' '   e   y ≤ y ' ' ,   p a r a   β R γ

Dessa forma, x ≤ x ' ' e, analogamente, y ≤ y ' ' , implicando que α R γ . Dessa forma concluímos que a relação é de ordem total.

Resposta

Demonstração