Sejam E e F dois conjuntos totalmente ordenados pela relação . Sejam e elementos de , em que está definida a relação R da forma seguinte:
Prove que R é uma relação de ordem total em .
Passo 1
Vamos comigo no exercício complementar pedrada na mente!
Já podemos concluir de cara que a relação é reflexiva pois dado com x e y tal como descrito no enunciado, então:
E a transitividade é atestada com o um tal que , assim:
Dessa forma, e, analogamente, , implicando que . Dessa forma concluímos que a relação é de ordem parcial.
Passo 2
Supondo agora que então , temos que as seguintes relações são válidas:
Mas isso só pode existir se e , logo ela é simétrica, pois x’ = x em ambos os casos.
Passo 3
Para provar a transitividade temos que considerar e , tendo então:
Dessa forma, e, analogamente, , implicando que . Dessa forma concluímos que a relação é de ordem total.
Resposta
Demonstração