Sejam f e g duas funções de R em R assim definidas:

f x = x + 1 ,   s e   x ≥ 0 - x + 1 ,   s e   x < 0   e   g x = 3 x - 2

Determine as compostas f ∘ g e g ∘ f .

Passo 1

Fala galera, bora começar esse exercício de matemática discreta!

Vamos escrever as funções como caixa de pilhas, pois f pode ser de duas maneiras:

f ∘ g :

f g x = 3 x - 2 + 1 → 3 x - 1 - 3 x - 2 + 1 → - 3 x + 3

Agora, precisamos refazer os limites da função g:

g x ≤ 3 x - 2 → 0 ≤ 3 x - 2 → 2 3 ≤ x

g x > 3 x - 2 → 0 > 3 x - 2 → 2 3 > x

E podemos escrever nossa composta por inteiro:

f g x = 3 x - 1 ,   s e   x ≥ 2 3 - 3 x + 3 ,   s e   x < 2 3

Passo 2

g ∘ f :

g f x = 3 x + 1 - 2 → 3 x + 1 3 - x + 1 - 2 → - 3 x + 1

Os limites são os mesmos da função f, então temos:

g f x = 3 x + 1 ,   s e   x ≥ 0 - 3 x + 1 ,   s e   x < 0

Resposta

f ∘ g = 3 x - 1 ,   s e   x ≥ 2 3 - 3 x + 3 ,   s e   x < 2 3

g ∘ f = 3 x + 1 ,   s e   x ≥ 0 - 3 x + 1 ,   s e   x < 0