Sejam u = ( 2 , - 5,4 , 6 , - 3 ) e v = ( 5 , - 2,1 , - 7 , - 4 ) . Encontre

a) 4 u - 3 v

b) 5 u + 2 v

c) u . v

d) ||u|| e ||v||

e) p r o j ( u , v )

f) d ( u , v )

Passo 1

Oiii oiii gente

Esse é um exercício pra praticarmos direitinho como fazemos operações com os vetores, desde a multiplicação por escalar e soma/subtração até o cálculo do produto interno, norma e ângulo entre os vetores, beleza? Lembrando que os vetores que vamos trabalhar aqui são u = ( 2 , - 5,4 , 6 , - 3 ) e v = ( 5 , - 2,1 , - 7 , - 4 ) . Então vamos lá explorar item por item :P

Passo 2

a) 4 u - 3 v

Olha lá, nesse caso temos a multiplicação dos vetores por um escalar e depois a subtração entre eles. Isso vai ficar assim:

4 u - 3 v = 4 . ( 2 , - 5,4 , 6 , - 3 ) - 3 . ( 5 , - 2,1 , - 7 , - 4 )

Quando multiplicamos um vetor por um escalar, basta multiplicar cada coordenada por esse valor, então:

4 u - 3 v = (8 , - 20,16,24 , - 12) - ( 15 , - 6,3 , - 21 , - 12 )

E agora, para subtrairmos os vetores, basta subtrair cada coordenada respectiva (primeira com primeira, segunda com segunda, enfim hahaha)

4 u - 3 v = (8 - 15 , - 20 + 6,16 - 3,24 + 21 , - 12 + 12)

4 u - 3 v = (- 7 , - 14,13,45,0)

E é isso pra esse item hehehe

Passo 3

b) 5 u + 2 v

Esse item é bem parecido com o anterior, olha:

5 u + 2 v = 5 . (2 , - 5,4 , 6 , - 3) + 2 . ( 5 , - 2,1 , - 7 , - 4 )

5 u + 2 v = ( 10 , - 25,20,30 , - 15 ) + ( 10 , - 4,2 , - 14 , - 8 )

Somando os vetores, temos

5 u + 2 v = ( 10 + 10 , - 25 - 4,20 + 2,30 - 14 , - 15 - 8 )

5 u + 2 v = ( 20 , - 29,22,16 , - 23 )

Belezinhaaaa

Passo 4

c) u . v

Agora queremos trabalhar com produto interno, bora

u . v = (2 , - 5,4 , 6 , - 3) . ( 5 , - 2,1 , - 7 , - 4 )

No produto interno usual, vamos multiplicar cada coordenada respectiva e aí somar tudo, assim ó:

u . v = 2 xx 5 + (- 5) xx (- 2) + 4 xx 1 + 6 xx (- 7) + (- 3) xx ( - 4 )

u . v = 10 + 10 + 4 - 42 + 12

u . v = - 6

E é isso 😊

Passo 5

d) ||u|| , ||v||

Agora vamos encontrar o módulo de u e de v , assim:

||u|| = sqrt(u . u)

||u|| = sqrt((2 , - 5,4 , 6 , - 3) . (2 , - 5,4 , 6 , - 3))

||u|| = sqrt(2 xx 2 + (- 5) xx (- 5) + 4 xx 4 + 6 xx 6 + (- 3) xx ( - 3 ))

||u|| = sqrt(4 + 25 + 16 + 36 + 9) = sqrt(90)

Agora vamos calcular o módulo de v :

||v|| = sqrt(v . v)

||v|| = sqrt(( 5 , - 2,1 , - 7 , - 4 ) . ( 5 , - 2,1 , - 7 , - 4 ))

||v|| = sqrt(5 xx 5 + (- 2) xx (- 2) + 1 xx 1 + ( - 7 ) xx (- 7) + (- 4) xx ( - 4 ))

||v|| = sqrt(25 + 4 + 1 + 49 + 16) = sqrt(95)

Fechou?

Passo 6

e) p r o j ( u , v )

Agora queremos encontrar a projeção de u em v . Lembrando que isso é dado pela fórmula:

p r o j_v u = (u . v)/(||v||^2) . v

Substituindo os valores:

p r o j_v u = (- 6)/((sqrt(95))^2) . ( 5 , - 2,1 , - 7 , - 4 )

p r o j_v u = (- 6)/(95) . ( 5 , - 2,1 , - 7 , - 4 )

Multiplicando o escalar por cada coordenada:

p r o j_v u = (- (30)/(95) , (12)/(95) , - (6)/(95) , (42)/(95) , (24)/(95))

Passo 7

f) d (u , v)

Agora queremos a distância entre u e v , vamos lá:

d (u , v) = d ((2 , - 5,4 , 6 , - 3) , ( 5 , - 2,1 , - 7 , - 4 ))

d (u , v) = sqrt((2 - 5)^2 + (- 5 + 2)^2 + (4 - 1)^2 + (6 + 7)^2 + (- 3 + 4)^2)

d (u , v) = sqrt((- 3)^2 + (- 3)^2 + (3)^2 + (13)^2 + (1)^2)

Então:

d (u , v) = sqrt(9 + 9 + 9 + 169 + 1) = sqrt(197)

E acabaaamos

Resposta

a) 4 u - 3 v = (- 7 , - 14,13,45,0)

b) 5 u + 2 v = ( 20 , - 29,22,16 , - 23 )

c) u . v = - 6

d) ||u|| = sqrt(90) , ||v|| = sqrt(95)

e) p r o j_v u = (- (30)/(95) , (12)/(95) , - (6)/(95) , (42)/(95) , (24)/(95))

f) d (u , v) = sqrt(197)