Sejam u = ( 1 , - 2,4 ) , v = ( 3,5 , 1 ) e w = ( 2,1 , - 3 ) . Encontre

a) 3 u - 2 v

b) 5 u + 3 v - 4 w

c) u . v , u . w , v . w

d) u ,   v

e) θ , sendo θ o ângulo entre u e v

f) d u , v

g) p r o j ( u , v )

Passo 1

Oiii oiii gente

Esse é um exercício pra praticarmos direitinho como fazemos operações com os vetores, desde a multiplicação por escalar e soma/subtração até o cálculo do produto interno, norma e ângulo entre os vetores, beleza? Lembrando que os vetores que vamos trabalhar aqui são u = ( 1 , - 2,4 ) , v = ( 3,5 , 1 ) e w = ( 2,1 , - 3 )

Então vamos lá explorar item por item :P

Passo 2

a) 3 u - 2 v

Olha lá, nesse caso temos a multiplicação dos vetores por um escalar e depois a subtração entre eles. Isso vai ficar assim:

3 u - 2 v = 3 . 1 , - 2,4 - 2 . ( 3,5 , 1 )

Quando multiplicamos um vetor por um escalar, basta multiplicar cada coordenada por esse valor, então:

3 u - 2 v = ( 3 , - 6,12 ) - ( 6,10,2 )

E agora, para subtrairmos os vetores, basta subtrair cada coordenada respectiva (primeira com primeira, segunda com segunda, enfim hahaha)

3 u - 2 v = ( 3 - 6 , - 6 - 10,12 - 2 )

3 u - 2 v = ( - 3 , - 16,10 )

E é isso pra esse item hehehe

Passo 3

b) 5 u + 3 v - 4 w

A sacada desse item é bem parecida com a do anterior, mas aí temos um termo a mais hahaha vamos lá

5 u + 3 v - 4 w = 5 . 1 , - 2,4 + 3 . 3,5 , 1 - 4 . ( 2,1 , - 3 )

5 u + 3 v - 4 w = ( 5 , - 10,20 ) + ( 9,15,3 ) - ( 8,4 , - 12 )

Então:

5 u + 3 v - 4 w = 5 + 9 - 8 , - 10 + 15 - 4,20 + 3 - - 12

5 u + 3 v - 4 w = 6 , 1 , 35

Fechou?

Passo 4

c) u . v , u . w , v . w

Agora queremos trabalhar com produto interno, bora

u . v = 1 , - 2,4 . ( 3,5 , 1 )

No produto interno usual, vamos multiplicar cada coordenada respectiva e aí somar tudo, assim ó:

u . v = 1 × 3 + - 2 × 5 + 4 × 1

u . v = 3 - 10 + 4 = - 3

E é isso 😊

Vamos pros outros produtos internos então

Passo 5

Agora u com w :

u . w = 1 , - 2,4 . ( 2,1 , - 3 )

u . w = 1 × 2 + - 2 × 1 + 4 × ( - 3 )

u . w = 2 - 2 - 12 = - 12

E agora v com w :

v . w = 3,5 , 1 . ( 2,1 , - 3 )

v . w = 3 × 2 + 5 × 1 + 1 × ( - 3 )

v . w = 6 + 5 - 3 = 8

Legal, mais um item feitooo

Passo 6

d) u ,   v

Agora vamos encontrar o módulo de u e de v , assim:

u = u . u

u = 1 , - 2,4 . 1 , - 2,4

u = 1 × 1 + - 2 × - 2 + 4 × 4

u = 1 + 4 + 16 = 21

Agora vamos calcular o módulo de v :

v = v . v

v = 3,5 , 1 . 3,5 , 1

v = 3 × 3 + 5 × 5 + 1 × 1

v = 9 + 25 + 1 = 35

Fechou?

Passo 7

e) θ , sendo θ o ângulo entre u e v

Para encontrarmos o ângulo entre u e v , vamos usar a fórmula:

cos ⁡ θ = u . v u . v

Pegando as informações dos itens anteriores e substituindo na fórmula:

cos ⁡ θ = - 3 21 × 35

cos ⁡ θ = - 3 735

cos ⁡ θ = - 0,110

Então:

θ = cos - 1 ⁡ - 0,110

θ ≅ 96,3 °

Passo 8

f) d u , v

Agora queremos a distância entre u e v , vamos lá:

d u , v = d 1 , - 2,4 , 3,5 , 1

d u , v = 1 - 3 2 + - 2 - 5 2 + 4 - 1 2

d u , v = - 2 2 + - 7 2 + 3 2

Então:

d u , v = 4 + 49 + 9 = 62

Passo 9

g) p r o j ( u , v )

Pra fechar esse exercício com chave de ouro, queremos encontrar a projeção de u em v . Lembrando que isso é dado pela fórmula:

p r o j v u = u . v v 2 . v

Substituindo os valores:

p r o j v u = - 3 35 2 . ( 3,5 , 1 )

p r o j v u = - 3 35 . ( 3,5 , 1 )

Multiplicando o escalar por cada coordenada:

p r o j v u = - 9 35 , - 15 35 , - 3 35

E fimmmmm galera!

Resposta

a) 3 u - 2 v = ( - 3 , - 16,10 )

b) 5 u + 3 v - 4 w = 6,1 , 35

c) u . v = - 3 , v . w = 8 , u . w = - 12

d) u = 21 , v = 35

e) θ ≅ 96,3 °

f) d u , v = 62

g) p r o j v u = - 9 35 , - 15 35 , - 3 35