Sejam f, g, h funções de R em R definidas pelas leis f x = x + 2 ,   g x = x 2 - 1 e h x = 3 x

  1. Determine as compostas f ∘ g ,   f ∘ h , g ∘ f , g ∘ g , g ∘ h e h ∘ g .
  2. Verifique que f ∘ g ∘ h = f ∘ ( g ∘ h )

Passo 1

Fala galera, bora começar esse exercício de matemática discreta!

Vamos montar as equações usando as compostas:

f ∘ g :

f g x = x 2 - 1 + 2 = x 2 + 1

f ∘ h :

f h x = 3 x + 2 = 3 x + 2

g ∘ f :

g f x = x + 2 2 - 1 = x 2 + 4 x + 4 - 1 = x 2 + 4 x + 3

g ∘ g :

g g x = x 2 - 1 2 - 1 = x 4 - 2 x 2 + 1 - 1 = x 4 - 2 x 2

g ∘ h :

g h x = 3 x 2 - 1 = 9 x 2 - 1

h ∘ g :

h g x = 3 x 2 - 1 = 3 x 2 - 3

Bora fazer a verificação agora!

Passo 2

Para verificarmos se as duas compostas são iguais vamos fazer cada lado e depois comparar, começando primeiro pela função entre parêntesis:

Lado esquerdo:

f ∘ g ∘ h = x 2 + 1 → 3 x 2 + 1 = 9 x 2 + 1

Lado direito:

f ∘ g ∘ h = 9 x 2 - 1 → 9 x 2 - 1 + 2 = 9 x 2 + 1

Podemos concluir que os dois lados são iguais!

f ∘ g ∘ h = f ∘ g ∘ h

Resposta

  1. f ∘ g = x 2 + 1 ;
  2.   f ∘ h = 3 x + 2 ;

    g ∘ f = x 2 + 4 x + 3 ;

    g ∘ g = x 4 - 2 x 2 ;

    g ∘ h = 9 x 2 - 1 ;

    h ∘ g = 3 x 2 - 3 .

  3. Os dois lados são iguais a 9 x 2 + 1