Sejam m e n inteiros ímpares. Prove que:

a) 4 | ( 2 m - 2 n )

b) 8 | ( m^2 - n^2 )

c) 8 | ( m^2 + n^2 - 2 )

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Nessa questão sendo m e n , números inteiros impares, encontre

a) 4 | ( 2 m - 2 n )

b) 8 | ( m^2 - n^2 )

c) 8 | ( m^2 + n^2 - 2 )

Fica tranquilo, vem comigo que esta questão vai ser de boa.

Passo 2

Na letra (a), sabendo que,

a) 4 | ( 2 m - 2 n )

se m e n é impar então m = 2 p + 1 e n = 2 t + 1 para algum p e t in Z sendo,

4 | ( 2 m - 2 n )

-> 4 | 2 (2 p + 1) - 2 ( 2 t + 1 )

-> 4 | 4 p - 4 t

-> 4 | 4 ( p - t )

Já na letra (b), sabendo que,

b) 8 | ( m^2 - n^2 )

se m e n é ímpar então, m = 2 p + 1 e n = 2 t + 1

-> 8 | (2 p + 1)^2 - (2 t + 1)^2

-> 8 | 4 (p^2 - t^2) + 4 ( p - t )

Tendo as possibilidades para p^2 - t^2 e p - t

E por fim na letra ( c ), sabendo que,

c) 8 | ( m^2 + n^2 - 2 )

se m e n é ímpar m = 2 p + 1 e n = 2 t + 1 para p e t in Z , temos

8 | (2 p + 1) (2 p + 1) + (2 t + 1)^2 - 2

8 | 4 ( p^2 - t^2 + p + t )

Com isso,

8 | 4 ( p^2 - t^2 + p + t )

8 | 4 ( 2 k )

8 | 8 k

Espero ter ajudado, até a próxima.

Resposta

a) 4 | 4 ( p - t )

b) 8 | 4 (p^2 - t^2) + 4 ( p - t )

c) 8 | 8 k