Enunciado

Sejam A uma matriz invertível n X n B uma matriz n X r. Mostre que a forma escada reduzida por linhas de (AIB) é (AC), onde C = A-1B.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Seja A uma matriz não singular n   x   n   , e seja B uma matriz n   x   r . Desde que A é uma matriz identidade não singular equivalente de linha n   x   n . Agora, existem matrizes elementares  E 1 , E 2 , … , E k  de tal forma que:

Desde A - 1 = E k ​ E k - 1 ​ … E 2 ​ E 1

Passo 2

‎Agora vamos observar matriz‎

A B

‎Uma vez que queremos obter linha reduzida forma de matriz escrita, vamos aplicar eliminações Gauss que convertem A‎‎ Para I‎.

‎Essas eliminações correspondem a matrizes elementares ‎ E k ​ E k - 1 ​ … E 2 ​ E 1 ​ .

Então,

E k ​ E k - 1 ​ … E 2 ​ E 1 ​ A ​ ​ B ​ = E k ​ E k - 1 ​ … E 2 ​ E 1 ​ A ​ E k ​ E k - 1 ​ … E 2 ​ E 1 ​ B ​ ​ = I A - 1 B ​ ​

‎Nós obtivemos linha reduzida matriz de escalão‎

I C

Onde C = A - 1 B

Resposta

C = E k ​ E k - 1 ​ … E 2 ​ E 1 ​ B = A ^ { - 1 } B