Sejam A , B matrizes quadradas de mesma dimensão. Prove que det ⁡ ( A B )   = det ⁡ ( B A ) (verdade mesmo que A B ≠ B A ).

Passo 1

Falaaaa, galeraaaa!

Por propriedade de determinantes podemos reescrever cada lado da igualdade como:

det ⁡ ( A B ) = det ⁡ ( A ) det ⁡ ( B )

det ⁡ ( B A ) = det ⁡ ( B ) det ⁡ ( A )

Passo 2

A ordem dos fatores não altera o valor final dos produtos acima. Logo:

det ⁡ ( A B ) = det ⁡ ( A ) det ⁡ ( B ) = det ⁡ ( B A ) = det ⁡ ( B ) det ⁡ ( A )

Passo 3

Observação: verdade mesmo que A B ≠ B A

Veja o exemplo abaixo.

A = 1 0 0 2 = 2

B = 0 1 1 0 = - 1

A B = 0 1 2 0 = - 2

B A = 2 0 0 1 = - 2

Note que A B ≠ B A .

det ⁡ ( A B ) = det ⁡ ( A ) det ⁡ ( B ) = 2 ∙ - 1 = - 2

det ⁡ ( B A ) = det ⁡ ( B ) det ⁡ ( A ) = - 1 ∙ 2 = - 2

Até a próxima!

Resposta

Prova nos passos acima.