Sejam u → e v → não paralelos, A R → = 2 u → + v → ,   A S → = u   → - 2 v → e A T →   = m u →   - 3 v →   . Determine m para que tenhamos R S →   | |   S T → . Desenhe u   → e v → e, em seguida, os pontos A , R ,   S ,   T .

Passo 1

Antes de começar com a exigência de que R S →   | |   S T → , temos que determinar esses vetores

R S → = R A → + A S → = - A R → + A S → = - ( 2 u → + v → ) + u   → - 2 v → = - u → - 3 v →

S T → = S A → + A T → = - A S → + A T → = - ( u   → - 2 v → ) + m u →   - 3 v → = ( m - 1 ) u →   - v →

Agora vamos usar a condição de que esses dois vetores devem ser paralelos:

R S →   = α   S T → ⇒ - u → - 3 v → = α ( ( m - 1 ) u →   - v → )

⇒ ( α - α m - 1 ) u → = ( 3 - α ) v →

Como vocês já sabem, a equação acima não é válida. Em geral, porque u → e v → não são paralelos. Então, é necessários que ambos os lados sejam iguais ao vetor nulo:

3 - α = 0 ⇒ α = 3

α - α m - 1 = 0 ⇒ 3 - 3 m - 1 = 0 ⇒ m = 2 3

Passo 2

Agora vamos fazer aquele desenho maroto. Vamos escolher vetores u   → e v → (você pode escolher seus vetores preferidos) e, a partir deles, desenhar A R → = 2 u → + v → ,   A S → = u   → - 2 v → e A T →   = m u →   - 3 v →   . Com isso, conseguimos identificar os pontos A , R ,   S ,   T :

Resposta

m = 2 3