Sejam e 1 , e 2 ,   e 3 , respectivamente, as operações elementares com as linhas seguintes

“Trocar as linhas R 2 e R 3 entre si”, “Substituir R 2 por 3 R 2 ” e “Substituir R 1 por 2 R 3 + R 1

b) Encontre as operações inversas e 1 - 1 ,   e 2 - 1 ,   e 3 - 1 ; suas matrizes elementares E 1 ' , E 2 ' , E 3 ' ; correspondentes e a relação entre essas matrizes e E 1 , E 2 , E 3

Passo 1

Oii gente, tudo certinho?

Pra começar, ele quer as operações inversas e 1 - 1 ,   e 2 - 1 ,   e 3 - 1

Vamos começar por e 1 , que é uma troca de linhas:

“Trocar as linhas R 2 e R 3 entre si”

Bem, a operação inversa disso continua a mesma coisa hahaha ou seja, e 1 - 1 é

“Trocar as linhas R 2 e R 3 entre si”

Passo 2

Agora vamos encontrar e 2 - 1 , a operação inversa de e 2 , que é uma multiplicação por escalar

“Substituir R 2 por 3 R 2

Vamos inverter o escalar que está multiplicando, assim, e 2 - 1 vai ser:

“Substituir R 2 por 1 3 R 2

Passo 3

Por fim, vamos encontrar e 3 - 1 , sendo que e 3 é uma soma de linhas

“Substituir R 1 por 2 R 3 + R 1

Basta a gente trocar o sinal do primeiro termo, assim, e 3 - 1 vai ser

“Substituir R 1 por - 2 R 3 + R 1

Passo 4

Showw, agora precisamos encontrar as matrizes elementares E 1 ' , E 2 ' , E 3 '

Pra isso, basta a gente partir da matriz identidade 3 × 3 e aplicar cada uma das operações inversas e 1 - 1 ,   e 2 - 1 ,   e 3 - 1

Começando por e 1 - 1 :

“Trocar as linhas R 2 e R 3 entre si”

Partindo da matriz identidade:

I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

E aí é só trocarmos a segunda linha com a terceira:

E 1 ' = 1 0 0 0 0 1 0 1 0

Passo 5

Agora para e 2 - 1 :

“Substituir R 2 por 1 3 R 2

Partindo da matriz identidade:

I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

E aí é só multiplicarmos a segunda linha por 1 3

E 2 ' = 1 0 0 0 1 3 0 0 0 1

Passo 6

Agora para e 3 - 1 :

“Substituir R 1 por - 2 R 3 + R 1

Partindo da matriz identidade:

I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

E aí é só substituirmos a primeira linha pelo dobro negativo da terceira + a primeira

E 3 ' = - 2 × 0 + 1 - 2 × 0 + 0 - 2 × 1 + 0 0 1 0 0 0 1

E 3 ' = 1 0 - 2 0 1 0 0 0 1

E as matrizes E 1 ' , E 2 ' , E 3 ' são as matrizes inversas, respectivamente, de E 1 , E 2 , E 3 😊

Resposta

“Trocar as linhas R 2 e R 3 entre si”

“Substituir R 2 por 1 3 R 2

“Substituir R 1 por - 2 R 3 + R 1

E 1 ' = 1 0 0 0 0 1 0 1 0

E 2 ' = 1 0 0 0 1 3 0 0 0 1

E 3 ' = 1 0 - 2 0 1 0 0 0 1

As matrizes E 1 ' , E 2 ' , E 3 ' são as matrizes inversas, respectivamente, de E 1 , E 2 , E 3