Sejam vetores LI e w ∈ . Prove que:
(a) é LD;
(b) é LI;
(c)
Passo 1
a)
Se o conjunto ordenado é Linearmente Independente, ele possui elementos do espaço vetorial W, logo o conjunto gera W.
Portanto, se v pode ser representado como a combinação linear dos vetores do conjunto ordenado, assim, se:
Desenvolvendo, temos:
Como a combinação linear é zerada, temos uma solução não-trivial que gera um vetor nulo e, consequentemente, linearmente dependente.
Passo 2
b)
No ítem B nós usaremos o raciocínio inverso do ítem A, se afirmarmos que a soma vetorial a partir do segundo vetor, , é linearmente independente, ou seja, diferente de 0, temos que:
é LI
Então:
Se incluir nessa condição o vetor , teremos que:
Ou seja, isso significa que os vetores também são linearmente independentes, assim como afirmado no comando, portanto a afirmação é verdadeira.
Passo 3
c)
Em uma situação contrária a , nós teríamos que v poderia ser representado como a combinação linear dos vetores do conjunto ordenado, igual no ítem A, se:
Desenvolvendo, teríamos uma combinação linear linearmente Dependente, desse modo:
Porém, como vimos no ítem B é linearmente Independente, portanto, de fato a condição exige que .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)