Sejam { v 1 ,   v 2 ,   .   .   .   ,   v n } vetores LI e w ∈ W   =   〈 v 1 ,   v 2 ,   .   .   .   ,   v n 〉 . Prove que:

(a) { w ,   v 1 ,   v 2 ,   .   .   .   ,   v n } é LD;

(b) { v 2 ,   .   .   .   ,   v n }   é LI;

(c) v 2 ,   .   .   .   ,   v n ≠   W

Passo 1

a)

Se o conjunto ordenado { v 1 ,   v 2 ,   .   .   .   ,   v n } é Linearmente Independente, ele possui elementos do espaço vetorial W, logo o conjunto gera W.

Portanto, se v pode ser representado como a combinação linear dos vetores do conjunto ordenado, assim, se:

v =   ∑ i = 1 n α 1 v i

Desenvolvendo, temos:

v - ∑ i = 1 n α 1 v i = 0

Como a combinação linear é zerada, temos uma solução não-trivial que gera um vetor nulo e, consequentemente, linearmente dependente.

Passo 2

b)

No ítem B nós usaremos o raciocínio inverso do ítem A, se afirmarmos que a soma vetorial a partir do segundo vetor, i = 2 , é linearmente independente, ou seja, diferente de 0, temos que:

{ v 2 ,   .   .   .   ,   v n }   é LI

Então:

∑ i = 2 n α 1 v i ≠ 0

Se incluir nessa condição o vetor i = 1 , teremos que:

v 1 + ∑ i = 2 n α 1 v i ≠ 0

Ou seja, isso significa que os vetores { v 1 ,   v 2 ,   .   .   .   ,   v n } também são linearmente independentes, assim como afirmado no comando, portanto a afirmação é verdadeira.

Passo 3

c)

Em uma situação contrária a v 2 ,   .   .   .   ,   v n ≠   W , nós teríamos que v poderia ser representado como a combinação linear dos vetores do conjunto ordenado, igual no ítem A, se:

v =   ∑ i = 1 n α 1 v i

Desenvolvendo, teríamos uma combinação linear linearmente Dependente, desse modo:

v - ∑ i = 1 n α 1 v i = 0

Porém, como vimos no ítem B { v 1 ,   v 2 ,   .   .   .   ,   v n } é linearmente Independente, portanto, de fato a condição exige que v 2 ,   .   .   .   ,   v n ≠   W .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)