Sejam a e b números inteiros tais que mdc(a, a + b) = 1. Prove que mdc(a, b) = 1. O reciproco desse resultado também é verdadeiro. Enuncie-o e demonstre-o. Sugestão: Para a primeira parte, tome um divisor de c de a e b e mostre que ele também é divisor de a e a + b.

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Se mdc(a, a+b) = 1, então existem os inteiros x e y, tais que a x + a + b y = 1

⇒ a x + a y + b y = 1

⇒ a x + y + b y = 1

⇒ m d c a , b = 1

Mas se m d c a , b = 1 , então existe um x e y tais que a x + b y = 1 . Fazendo x = y + c , tem-se a y + c + b y = 1 ⇒ ( a + b 0 y + a c = 1 ⇒ m d c a , a + b = 1 , assim como queríamos demonstrar

Resposta

Demonstração