Sejam a e b números reais tais que b > a > 0 e considere os pontos B ( 0,0 ) , B 1 0 , a + b ,   F ( 0 , a ) e F 1 ( 0 , b )

  1. Mostre que as equações da elipse de vértice B   e   B 1 e focos F   e   F 1 e da parábola de vértice B e foco F podem ser escritas, respectivamente, nas formas
  2. y = 1 a + b y 2 + 1 4 a a + b b x 2

    y = 1 4 a x 2

  3. Se os pontos x , y p     e   ( x , y p ) pertencem, respectivamente, à elipse e à parábola do item a), mostre que
  4. lim b → ∞ ⁡ y = y p

  5. A partir dos itens a) e b), conclua que a parábola de vértice B e foco F pode ser imaginada como a posição limite da elipse de vértices B   e   B 1 e focos F   e   F 1 quando o foco F 1 tende para o infinito.

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão dado que a e b são números reais tais que b > a > 0 e considerando os pontos B ( 0,0 ) , B 1 0 , a + b ,   F ( 0 , a ) e F 1 ( 0 , b ) e a partir daí encontrar

  1. Mostre que as equações da elipse de vértice B   e   B 1 e focos F   e   F 1 e da parábola de vértice B e foco F podem ser escritas, respectivamente, nas formas
  2. y = 1 a + b y 2 + 1 4 a a + b b x 2

    y = 1 4 a x 2

  3. Se os pontos x , y p     e   ( x , y p ) pertencem, respectivamente, à elipse e à parábola do item a), mostre que
  4. lim b → ∞ ⁡ y = y p

  5. A partir dos itens a) e b), conclua que a parábola de vértice B e foco F pode ser imaginada como a posição limite da elipse de vértices B   e   B 1 e focos F   e   F 1 quando o foco F 1 tende para o infinito.

Calma meu camarada vamos solucionar ela juntos.

Passo 2

Na letra (a) a partir das definições da elipse e parábola vamos ter que,

y = 1 40 x 2

y = 1 a + b y 2 + 1 4 a a + b b x 2

1 4 a x 2 = 1 a + b   y 2 + 1 4 a a + b b   x 2  

Na letra (b) dado que x , y   e   ( x , y 0 )

lim b → ∞ ⁡ y = y p → l i m b → ∞ y p = y → b = ∞  

E na letra ( c ) o gráfico fica assim,

Resposta

a) 1 4 a x 2 = 1 a + b   y 2 + 1 4 a a + b b   x 2  

b) b = ∞  

c)