Sejam: o ponto , o plano e a reta .
- Pede-se uma equação do plano que passa por , é perpendicular a e é paralelo à reta
- Dê equações paramétricas da interseção de e
Passo 1
Fala, galera! Preparados para mais uma questão? Bora lá, então!
- O plano tem vetor normal e a reta , que pode ser reescrita como
- Agora, queremos as equações paramétricas da interseção dos planos e . Para isso, precisamos encontrar um ponto e um vetor da reta . Vamos chutar que a reta passa por um ponto que tem e vamos substituir na equação dos dois planos:
tem vetor diretor . Como o plano é perpendicular a e é paralelo à reta então, e pertencem ao plano . Só temos que encontrar mais um vetor. Como o plano passa por , podemos escolher um ponto no plano para escrever o vetor
que também pertence ao plano. Como todos os vetores , e pertencem ao plano, eles são l.d. e seu determinante é nulo:
Com isso, obtemos a equação do plano:
Passo 2
Substituindo o resultado da primeira equação na segunda, obtemos
Agora, usamos esse resultado para obter :
Com isso, vemos que o ponto pertence aos dois planos. Agora, precisamos de um vetor. Mas, podemos ser espertos e notar que o vetor diretor da reta é paralelo a ambos os planos, ou seja, perpendicular ao vetor normal dos dois planos. Temos e e a maneira mais fácil de obter um vetor perpendicular a esses dois vetores é calculando o produto vetorial deles:
Assim, o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor . Então, podemos fazer . Lembrando que a reta passa pelo ponto , obtemos as seguintes equações paramétricas: