Sejam: o ponto P   =   ( 2,0 , 3 ) , o plano α :   x + y - 2 z + 1 = 0 e a reta r : x - 1 3 = y + 1 = z .

  1. Pede-se uma equação do plano π que passa por P , é perpendicular a α e é paralelo à reta r
  2. Dê equações paramétricas da interseção de α e π

Passo 1

Fala, galera! Preparados para mais uma questão? Bora lá, então!

  1. O plano α :   x + y - 2 z + 1 = 0 tem vetor normal n → = ( 1,1 , - 2 ) e a reta r : x - 1 3 = y + 1 = z , que pode ser reescrita como
  2. r :   x = 3 t + 1 ,   y = t - 1 ,   z = t

    tem vetor diretor v → = ( 3,1 , 1 ) . Como o plano π é perpendicular a α e é paralelo à reta r então, n → e v → pertencem ao plano π . Só temos que encontrar mais um vetor. Como o plano passa por P =   ( 2,0 , 3 ) , podemos escolher um ponto X = ( x , y , z ) no plano para escrever o vetor

    P X → = X - P = ( x , y , z ) - ( 2,0 , 3 ) = ( x - 2 , y , z - 3 )

    que também pertence ao plano. Como todos os vetores n → = ( 1,1 , - 2 ) , v → = ( 3,1 , 1 ) e P X → = ( x - 2 , y , z - 3 ) pertencem ao plano, eles são l.d. e seu determinante é nulo:

    ⎜ x - 2               y                 z - 3 ⎜

    ⎜           1                       1             - 2           ⎜ = ( x - 2 ) ( 1 + 2 ) - y ( 1 + 6 ) + ( z - 3 ) ( 1 - 3 ) = 0

    ⎜           3                       1                           1           ⎜

    ⇒ 3 x - 6 - 7 y - 2 z + 6 = 0

    Com isso, obtemos a equação do plano:

    π :   3 x - 7 y - 2 z = 0

    Passo 2

  3. Agora, queremos as equações paramétricas da interseção dos planos α :   x + y - 2 z + 1 = 0 e π :   3 x - 7 y - 2 z = 0 . Para isso, precisamos encontrar um ponto e um vetor da reta s . Vamos chutar que a reta passa por um ponto que tem y = 0 e vamos substituir na equação dos dois planos:

α : x - 2 z + 1 = 0 ⇒ x = - 1 + 2 z

π :   3 x - 2 z = 0

Substituindo o resultado da primeira equação na segunda, obtemos

  3 x - 2 z = 0 ⇒   3 ( - 1 + 2 z ) - 2 z = 0

⇒ - 3 + 4 z = 0

⇒ z = 3 4

Agora, usamos esse resultado para obter x :

x = - 1 + 2 z = - 1 + 3 2 = 1 2

Com isso, vemos que o ponto Q = ( 1 2 , 0 , 3 4 ) pertence aos dois planos. Agora, precisamos de um vetor. Mas, podemos ser espertos e notar que o vetor diretor da reta é paralelo a ambos os planos, ou seja, perpendicular ao vetor normal dos dois planos. Temos n → α = ( 1,1 , - 2 ) e n → π = ( 3 , - 7 , - 2 ) e a maneira mais fácil de obter um vetor perpendicular a esses dois vetores é calculando o produto vetorial deles:

⎜   i →                           j →                             k →           ⎜

⎜ 1                         1                 - 2         ⎜ = ( - 2 - 14 )   i →   - ( - 2 + 6 )   j → + ( - 7 - 3 ) k → = ( - 16 , - 4 , - 10 )

⎜ 3           - 7               -   2         ⎜

Assim, o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor ( - 16 , - 4 , - 10 ) = - 2 ( 8,2 , 5 ) . Então, podemos fazer v → = ( 8,2 , 5 ) . Lembrando que a reta passa pelo ponto Q = ( 1 2 , 0 , 3 4 ) , obtemos as seguintes equações paramétricas:

x = 1 2 + 8 m ,   y = 2 m ,   z = 3 4 + 5 m

Resposta

  1. π :   3 x - 7 y - 2 z = 0
  2. x = 1 2 + 8 m ,   y = 2 m ,   z = 3 4 + 5 m