Sejam A = ( x_1 , y_1 ) e B = ( x_2 , y_2 ) pontos do plano. Demonstre que

d (A , B) = ||vec A B||

Passo 1

Falaaaaa ae, blz?? Para começarmos essa questão vale lembrar qual a fórmula da distância de dois pontos:

d (A , B) = sqrt((Delta x)^2 + (Delta y)^2) , onde esse delta é a diferença entre as coordenadas x e y

Passo 2

Com isso fica quase que uma questão só para mostrar a igualdade, nem da para considerar uma demonstração, uma vez que:

Seja A o ponto de origem do vetor e B o “ponto final” , temos que o vetor AB é da forma:

v_A B = B - A

Além disso, temos que o módulo do vetor é dado pela raiz da soma dos quadrados de suas coordenadas.

Em outras palavras, se v=(x,y)

||v|| = sqrt(x^2 + y^2)

Passo 3

Com isso:

vec A B = (x_2 - x_1 , y_2 - y_1)

||vec A B|| = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) = sqrt((Delta x)^2 + (Delta y)^2) = d ( A , B )

Resposta

Demonstração