Sejam R e S relações no mesmo conjunto E. Prove que:

R - 1 ∩ S - 1 = R ∩ S - 1

Passo 1

Fala minha galera, esses exercícios complementares são pedrada forte, bora com muita calma que vai dar tudo certo!

Sabemos que quando tem algum T elevado a -1, essa é a relação inversa de T, ou seja, enquanto existe um elemento ( x , y ) em T, para T - 1 ele vai estar como ( y , x ) . Visto isso bora resolver usando como base nas equivalências!

Vamos começar tomando nossas relações:

  • x , y ∈ S ∩ R - 1
  • y , x ∈ R ∩ S

Então podemos dizer que existe um z e provar a proposição:

∃ z y , z ∈ R ∧ z , x ∈ S ⇔

∃ z z , y ∈ R - 1 ∧ x , z ∈ S - 1 ⇔  

∃ z x , z ∈ S - 1 ∧ z , y ∈ R - 1 ⇔

x , y ∈ R - 1 ∩ S - 1  

Portanto, juntando a primeiro e a última relação, está provado que R - 1 ∩ S - 1 = R ∩ S - 1   .

Bora pra próxima!

Resposta

Demonstração