Sejam R e S relações no mesmo conjunto E. Prove que:

Se R e S são transitivas, então R ∩ S é transitiva.

Passo 1

Fala minha galera, esses exercícios complementares são pedrada forte, bora com muita calma que vai dar tudo certo!

Vamos tomar as relações transitivas e provar que a intersecção também é transitiva:

  • x , y ∈ R ∧ y , z ∈ R ⇒ x , z ∈ R ,   R é transitiva; e
  • x , y ∈ S ∧ y , z ∈ S ⇒ x , z ∈ S ,   S é transitiva.

Portanto, como x , z ∈ R e x , z ∈ S , pela intersecção de dois conjuntos, x , z ∈ R ∩ S . Reescrevendo a demonstração:

x , y ∈ R ∩ S ∧ y , z ∈ R ∩ S ⇒ x , z ∈ R ∩ S

Está demonstrada que as relações são transitivas.

Bora pra próxima!

Resposta

Demonstração