Sejam R e S relações no mesmo conjunto E. Prove que:

Se R e S são simétricas, então R ∪ S e R ∩ S são simétricas.

Passo 1

Fala minha galera, esses exercícios complementares são pedrada forte, bora com muita calma que vai dar tudo certo!

Vamos começar provando a união, tomando a seguinte relação x , y ∈ R ∪ S .

Se essa relação é verdadeira, então existem dois casos:

  • x , y ∈ R ; ou
  • x , y ∈ S .

Se x , y ∈ R , então por R ser simétrico, y , x ∈ R . Assim como x , y ∈ S , então por S ser simétrico, y , x ∈ S . Dessa forma, R ∪ S é simétrico.

Bora pra intersecção!

Passo 2

Para a intersecção não vai ser muito diferente, olha só. Ao tomar x , y ∈ R ∩ S , então x , y ∈ R e x , y ∈ S , como R e S são simétricos, existe um y , x ∈ R e y , x ∈ S . Dessa forma, podemos aplicar a intersecção, y , x ∈ R ∩ S , provando que a intersecção também é simétrica.

Está provada as duas proposições do exercício! Bora continuar que estamos pegado fogo!

Resposta

Demonstração