Sejam R e S relações no mesmo conjunto E. Prove que:

R ∪ R - 1 é simétrica.

Passo 1

Fala minha galera, esses exercícios complementares são pedrada forte, bora com muita calma que vai dar tudo certo!

Vamos começar provando a união, tomando a seguinte relação x , y ∈ R ∪ R - 1 .

Se essa relação é verdadeira, então existem dois casos:

  • y , x ∈ R ⇒ y , x ∈ R ∪ R - 1 , visto que R - 1 é o inverso de R ; ou
  • y , x ∈ R - 1 ⇒ y , x ∈ R ∪ R - 1 .

Dessa forma, está provado que R ∪ R - 1 é simétrico.

Passo 2

Para a intersecção não vai ser muito diferente, olha só. Ao tomar x , y ∈ R ∩ S , então x , y ∈ R e x , y ∈ S , como R e S são simétricos, existe um y , x ∈ R e y , x ∈ S . Dessa forma, podemos aplicar a intersecção, y , x ∈ R ∩ S , provando que a intersecção também é simétrica.

Está provada as duas proposições do exercício! Bora continuar que estamos pegado fogo!

Resposta

Demonstração