Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.7 - Ex. 165
Sejam as retas e .
- Escreva uma equação do plano que contém e é paralelo a .
- Calcule a distância entre as retas e (isto é, a distância de qualquer ponto de até ).
Passo 1
E aí, gente? Mais uma questão para a gente responder juntos.
- Vamos começar reescrevendo as retas na forma paramétrica:
- A distância entre um ponto de um ponto até um plano é dada por
Como o plano é paralelo a , então o vetor normal do plano é perpendicular ao vetor diretor dessa reta :
Além disso, o plano contém a reta . Logo, o vetor normal do plano também é perpendicular a :
Vamos substituir na primeira equação
Beleza! Descobrimos que o vetor normal do plano é da forma . Assim, a equação do plano é:
Para determinar , vamos descobrir algum ponto da reta , que está contida no plano. Então, esse ponto também está contido no plano e deve satisfazer a equação do plano. Para , temos o ponto que vamos substituir na equação do plano:
Enfim, chegamos na equação do plano:
Passo 2
Fazendo na equação da reta , obtemos
Então, é um ponto dessa reta. Além disso, olhando a equação do plano que obtivemos no item anterior, vemos que e . Assim, a distância fica dada por