Sejam u →   =   a → + 2 b → e v →   = a   → - b → , em que a → e b → são vetores de módulo 1 . Seja α o ângulo entre a → e b → , e seja θ o ângulo entre u → e v → . Sabendo que c o s   α   =   1 2 , calcule c o s θ . Desenhe os vetores u → ,   v ,   → a → e b → .

Passo 1

Galera, como θ é o ângulo entre u → e v → , então, devemos ter

c o s   θ = u → ⋅ v → | u → | | v → |

Mas,

| u → | 2 = u → ⋅ u →   = (   a → + 2 b → ) ⋅ (   a → + 2 b → ) = a → ⋅ a →   + 4 a → ⋅ b → + 4 b → ⋅ b → = | a → | 2 + 4 a → ⋅ b → + 4 | b → | 2

| v → | 2 = v → ⋅ v →   = (   a → - b → ) ⋅ (   a → - b → ) = a → ⋅ a →   - 2 a → ⋅ b → + b → ⋅ b → = | a → | 2 - 2 a → ⋅ b → + | b → | 2

u → ⋅ v → = (   a → + 2 b → ) ⋅ (   a → - b → ) = a → ⋅ a →   + a → ⋅ b → - 2 b → ⋅ b → = | a → | 2 + a → ⋅ b → - 2 | b → | 2

Agora, precisamos lembrar que α é o ângulo entre a → e b → e que c o s   α   =   1 2 . Então

c o s   α   =   1 2 = a → ⋅ b → | a → | | b → | ⇒ a → ⋅ b → = | a → | | b → | 2 = 1 2 ,

onde usamos | a → | = | b → | = 1 .

Passo 2

O próximo passo é substituir | a → | = | b → | = 1 e a → ⋅ b → = 1 2 em:

| u → | 2 = | a → | 2 + 4 a → ⋅ b → + 4 | b → | 2 = 1 + 4 ⋅ 1 2 + 4 ⋅ 1 = 7 ⇒ | u → | = 7

| v → | 2 = | a → | 2 - 2 a → ⋅ b → + | b → | 2 = 1 - 2 ⋅ 1 2 + 1 = 1 ⇒ | v → | = 1

u → ⋅ v → = | a → | 2 + a → ⋅ b → - 2 | b → | 2 = 1 + 1 2 - 2 ⋅ 1 = - 1 2

Agora que já temos todos os ingredientes para obter c o s θ , é só substituir na fórmula:

c o s   θ = u → ⋅ v → | u → | | v → | = - 1 2 1 1 7 = - 1 2 7 = - 7 14

Resposta

c o s   θ = - 7 14