Sejam A e B subconjuntos de um conjunto U. Prove as seguintes propriedades:
- Se e , então e .
- Se , então e .
- se, e somente se, .
Passo 1
Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!
- Sabemos que A e B são disjuntos pelo enunciado, pois eles não têm nenhum elemento em comum, evidenciado pela intersecção dos dois. Fica fácil de visualizar que b é o complementar de A e A é o complementar de B.
- Para provar essa questão precisamos adotar um conjunto arbitrário K que contem todos os elementos de U que não estão contidos em A ou B, ou seja, podemos supor que , por exemplo.
- Vamos continuar com o nosso conjunto K anterior e vamos anotar o que já temos.
Passo 2
Como sabemos que , e K não possui elemento de A, então . O que implica em U então pois sabemos que por definição
Dessa forma, todo elemento de B pertence a , e vice e versa.
Complicado né, mas vamos continuar que vai dar tudo certo!
Passo 3
Da última equação tiramos que então como queríamos provar.
Bora pro próximo!
Resposta
- Demonstração
- Demonstração
- Demonstração