Sejam A e B subconjuntos de um conjunto U. Prove as seguintes propriedades:

  1. Se A ⋂ B = ∅ e A ⋃ B = U , então B = A c e A = B c .
  2. Se A ⋂ B = ∅ , então B ⊂ A c e A ⊂ B c .
  3. B ⊂ A se, e somente se, A c ⊂ B c .

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

  1. Sabemos que A e B são disjuntos pelo enunciado, pois eles não têm nenhum elemento em comum, evidenciado pela intersecção dos dois. Fica fácil de visualizar que b é o complementar de A e A é o complementar de B.
  2. Passo 2

  3. Para provar essa questão precisamos adotar um conjunto arbitrário K que contem todos os elementos de U que não estão contidos em A ou B, ou seja, podemos supor que U = A ⋃ B ⋃ K , por exemplo.
  4. Como sabemos que A ⋂ B = ∅ , e K não possui elemento de A, então B ⋃ K ⋂ A = ∅ . O que implica em U U - A = B ⋃ K , então B ⋃ K = A C , pois sabemos que por definição U - A = A c .

    Dessa forma, todo elemento de B pertence a A c , e vice e versa.

    Complicado né, mas vamos continuar que vai dar tudo certo!

    Passo 3

  5. Vamos continuar com o nosso conjunto K anterior U = A ⋃ B ⋃ K e vamos anotar o que já temos.

U - A = A c = K

B c = A - B ⋃ K

Da última equação tiramos que K ⊂ B c , então A c ⊂ B c como queríamos provar.

Bora pro próximo!

Resposta

  1. Demonstração
  2. Demonstração
  3. Demonstração