Sejam H , K sub V subespaços vetoriais. Mostre que:

dim (H + K) = dim (H) + dim (K) - d i m ( H nnn K )

Passo 1

E aí, pessoal, esse daqui é grande, mas não é duas não, bora encarar!!!

Para resolver esse problema, iremos utilizar do fato que a partir de um conjunto { v_1 , ... , v_r } LI, de um espaço vetorial V de dimensão n >= r , podemos obter uma base para V , acrescentando n - r vetores a esse conjunto.

Sabendo disso, vamos para questão.

Passo 2

Seja { v_1 , ... , v_r } uma base de H nnn K . Temos que ela é parte de uma base

{ v_1 , ... , v_r , u_1 , ... , u_m }

Do subespaço H , e parte de uma base

{ v_1 , ... , v_r , w_1 , ... , w_n }

Do subespaço K .

É fácil ver que o conjunto

{ v_1 , ... , v_r , u_1 , ... , u_m , w_1 , ... , w_n }

Gera o espaço H + K . Então, para mostrar que esse conjunto é uma base de H + K , basta mostrar que ele é LI.

De fato, considere a combinação linear:

sum_(i = 1)^r a_i v_i + sum_(j = 1)^m b_j u_j + sum_(k = 1)^n c_k w_k = 0

Então, tem-se que:

- sum_(k = 1)^n c_k w_k = sum_(i = 1)^r a_i v_i + sum_(j = 1)^m b_j u_j

o que mostra que o elemento

û = sum_(k = 1)^n c_k w_k in H

Como o elemento û também pertence a K , isto é, û in H nnn K , temos que:

sum_(k = 1)^n c_k w_k = sum_(i = 1)^r alpha_i v_i <=> sum_(k = 1)^n c_k w_k - sum_(i = 1)^r alpha_i v_i = 0

para certos escalares alpha_1 , ... , alpha_r . Como o conjunto

{ v_1 , ... , v_r , w_1 , ... , w_n }

É LI, cada um dos escalares c_k = 0 e alpha_i = 0 . Assim,

sum_(i = 1)^r a_i v_i + sum_(j = 1)^m b_j u_j = 0

Como o conjunto { v_1 , ... , v_r , u_1 , ... , u_m } é LI, temos que cada um dos escalares a_i = 0 e b_j = 0 . Assim, está provado que o conjunto

{ v_1 , ... , v_r , u_1 , ... , u_m , w_1 , ... , w_n }

é LI, e como já sabemos que ele gera H nnn K , segue que ele é uma base para esse subespaço. Finalmente, temos que:

dim (H) + dim (K) = (r + m) + (r + n) =>

dim (H) + dim (K) = r + (r + m + n) =>

dim (H) + dim (K) = dim (H nnn K) + d i m ( H + K ) ,

O que completa a demonstração.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)