Sejam subespaços vetoriais. Mostre que:
Passo 1
E aí, pessoal, esse daqui é grande, mas não é duas não, bora encarar!!!
Para resolver esse problema, iremos utilizar do fato que a partir de um conjunto LI, de um espaço vetorial de dimensão , podemos obter uma base para , acrescentando vetores a esse conjunto.
Sabendo disso, vamos para questão.
Passo 2
Seja uma base de . Temos que ela é parte de uma base
Do subespaço , e parte de uma base
Do subespaço .
É fácil ver que o conjunto
Gera o espaço . Então, para mostrar que esse conjunto é uma base de , basta mostrar que ele é LI.
De fato, considere a combinação linear:
Então, tem-se que:
o que mostra que o elemento
Como o elemento também pertence a , isto é, , temos que:
para certos escalares . Como o conjunto
É LI, cada um dos escalares e . Assim,
Como o conjunto é LI, temos que cada um dos escalares e . Assim, está provado que o conjunto
é LI, e como já sabemos que ele gera , segue que ele é uma base para esse subespaço. Finalmente, temos que:
,
O que completa a demonstração.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)