Sejam H , K ⊂ V subespaços vetoriais. Mostre que:

H ⋃ K não é, em geral, subespaço;

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certo? Bora resolver mais esse!!!

Antes de tudo, vamos lembrar como é caracterizado um subespaço vetorial. Seja V um espaço vetorial e U ⊂ V , temos que U é um subespaço vetorial se:

1- 0 ∈ U ;

2- U é fechado para soma vetorial, ou seja, se u ,   v ∈ U então u + v ∈ U ;

3- U é fechado para multiplicação por escalar, ou seja, se k ∈ R e u ∈ U então k u ∈ U ;

Sabendo disso, vamos para a questão!!!

Passo 2

Sejam h , k ∈ H ⋃ K , com h ∈ H e h ∉ K , e k ∈ K e k ∉ H

Como k ∉ H , temos que h + k ∉ H , pois senão, como H é um subespaço vetorial, teríamos que h + k - h = k pertenceria a H , já que h + k ,   - h ∈ H .

Como h ∉ K , temos que h + k ∉ K , pois senão, como K é um subespaço vetorial, teríamos que h + k - k = h pertenceria a K , já que h + k ,   - k ∈ K .

Logo, h + k ∉ H e h + k ∉ K , donde concluímos que h + k ∉ H ⋃ K . Ou seja, U ⋃ K não satisfaz a segunda condição para ser um subespaço vetorial, de forma a não poder sê-lo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)