Sejam u = (1,2 , - 2) , v = ( 3 , - 12,4 ) e r = - 3

a) Encontre ||u|| , ||v|| , ||u + v|| e ||r u||

b) Verifique que ||r u|| = |r| | |u| | e que ||u + v|| <= ||u|| + ||v||

Passo 1

E aíí gente!

Nesse exercício, vamos focar no módulo dos vetores

Só pra lembrar, o módulo de um vetor v é calculado assim:

||v|| = sqrt(v . v)

Onde v . v é o produto interno de v com ele mesmo

Agora vamos lá!

Passo 2

a) Vamos começar encontrando ||u|| , onde u = (1,2 , - 2)

||u|| = sqrt(u . u)

||u|| = sqrt((1,2 , - 2) . (1,2 , - 2))

||u|| = sqrt(1^2 + 2^2 + (- 2)^2)

||u|| = sqrt(1 + 4 + 4) = sqrt(9) = 3

Show!!

Passo 3

Agora vamos encontrar ||v|| , onde v = ( 3 , - 12,4 )

||v|| = sqrt(v . v)

||v|| = sqrt(( 3 , - 12,4 ) . ( 3 , - 12,4 ))

||v|| = sqrt(3^2 + (- 12)^2 + 4 ²)

||v|| = sqrt(9 + 144 + 16) = sqrt(16 9) = 1 3

Só falta ||u + v|| e ||r u|| pra finalizarmos esse item 😉

Passo 4

Para encontrarmos ||u + v|| , primeiramente vamos encontrar quem é u + v :

u + v = (1,2 , - 2) + (3 , - 12,4)

u + v = ( 4 , - 10,2 )

Agora sim, vamos encontrar seu módulo:

||u + v|| = sqrt(4^2 + (- 10)^2 + 2^2)

||u + v|| = sqrt(16 + 100 + 4) = sqrt(120)

Passo 5

Agora vamos encontrar r . u :

r . u = - 3 . (1,2 , - 2)

r . u = ( - 3 , - 6,6 )

E aí podemos encontrar o seu módulo:

||r . u|| = sqrt((- 3)^2 + (- 6)^2 + 6^2)

||r . u|| = sqrt(9 + 36 + 36) = sqrt(81) = 9

Boaaaa, fechamos esse item então 😉

Passo 6

b) Show, vamos verificar que ||r u|| = |r| | |u| | , afinal, essa é uma propriedade que temos, e ela deve ser válida hehehe

O ||r u|| nós já temos do item anterior, ele vale 9

Agora vamos encontrar |r| . ||u|| :

|r| . ||u|| = |- 3| . 3

|r| . ||u|| = 3 xx 3 = 9

Opa! Deu 9 também!

Então ta verificado: ||r u|| = |r| ||u|| = 9

Passo 7

Agora temos que verificar que ||u + v|| <= ||u|| + ||v||

Temos que ||u + v|| = sqrt(120) tilde= 10,9

Agora vamos fazer ||u|| + ||v|| :

||u|| + ||v|| = 3 + 13 = 16

Opa, deu um valor maior que 10,9

Então, realmente ||u + v|| <= ||u|| + ||v|| :D

Resposta

a) ||u|| = 3 ||v|| = 1 3

||u + v|| = sqrt(120)

||r . u|| = 9