Sejam , , e vetores de . Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das proposições seguintes, justificando sua conclusão:
- l.i. , , l.i.;
- l.d. , , l.d.;
- l.i. é combinação linear de e ;
- l.d. , l.d.;
- , são sempre l.d.;
- em existem quatro vetores l.i. .
Passo 1
- Temos que lembrar que um conjunto de vetores é l.i. quando não é possível escrever um vetor em termos dos outros. Então a afirmação l.i. nos diz que não é possível escrever em termos de , mas nada impede que um desses vetores ou mesmos os dois possam ser uma combinação de . O inverso também pode ser verdade: pode ser que seja combinação linear dos outros dois vetores. Então a afirmação , , l.i. não é necessariamente verdadeira.
- Nesse caso, l.d. significa que podemos escrevemos . Então, mesmo que o vetor não seja combinação dos outros dois, ainda temos um vetor () que tem dependência linear com outro vetor (). Logo, a afirmação , , l.d. é verdadeira.
- O fato de serem l.i. não garante que é combinação linear de e , pois pode acontecer de termos , , l.i. Então, a afirmação é falsa.
- Só o fato de serem l.d. não garante que , sejam l.d. Por exemplo, pode acontecer de serem l.i. e ser l.d. com um deles. Isso já é suficiente para garantir que o conjunto seja l.d. sem que , sejam l.d.
- Sempre conseguimos escrever o vetor nulo como combinação de qualquer vetor, pois e Então, isso garante que , são sempre l.d.
- Não podemos ter, em , quatro vetores l.i. pois mesmo que três dos vetores sejam l.i., o quarto vetor sempre pode ser escrito como combinação dos outros 3. Então, a afirmação é falsa.
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Passo 5
Passo 6
Resposta
- F
- V
- F
- F
- V
- F