Sejam u → , v → , w → e z → vetores de V . Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das proposições seguintes, justificando sua conclusão:

  1. u → ,   v →   l.i. u →   , v →   , w → l.i.;
  2. u → ,   v →   l.d. u →   , v →   , w → l.d.;
  3. u → ,   v →   l.i. w → é combinação linear de u →   e v → ;
  4. u → ,   v →   , w → l.d. u →   , v →   l.d.;
  5. 0 → ,   u →   , v →   são sempre l.d.;
  6. em V   existem quatro vetores l.i. .

Passo 1

  1. Temos que lembrar que um conjunto de vetores é l.i. quando não é possível escrever um vetor em termos dos outros. Então a afirmação u → ,   v →   l.i. nos diz que não é possível escrever u → em termos de   v → , mas nada impede que um desses vetores ou mesmos os dois possam ser uma combinação de w → . O inverso também pode ser verdade: pode ser que w → seja combinação linear dos outros dois vetores. Então a afirmação u →   , v →   , w → l.i. não é necessariamente verdadeira.
  2. Passo 2

  3. Nesse caso, u → ,   v →   l.d. significa que podemos escrevemos u → = α v → . Então, mesmo que o vetor w → não seja combinação dos outros dois, ainda temos um vetor ( u →   ) que tem dependência linear com outro vetor ( v → ). Logo, a afirmação u →   , v →   , w → l.d. é verdadeira.
  4. Passo 3

  5. O fato de u → ,   v →   serem l.i. não garante que w → é combinação linear de u →   e v → , pois pode acontecer de termos u →   , v →   , w → l.i. Então, a afirmação é falsa.
  6. Passo 4

  7. Só o fato de u → ,   v →   , w → serem l.d. não garante que u →   , v →   sejam l.d. Por exemplo, pode acontecer de u → ,   v →   serem l.i. e w → ser l.d. com um deles. Isso já é suficiente para garantir que o conjunto u → ,   v →   , w → seja l.d. sem que u →   , v →   sejam l.d.
  8. Passo 5

  9. Sempre conseguimos escrever o vetor nulo como combinação de qualquer vetor, pois 0 → = 0 ⋅   u →   e 0 → = 0 ⋅   v → .   Então, isso garante que 0 → ,   u →   , v →   são sempre l.d.
  10. Passo 6

  11. Não podemos ter, em V , quatro vetores l.i. pois mesmo que três dos vetores sejam l.i., o quarto vetor sempre pode ser escrito como combinação dos outros 3. Então, a afirmação é falsa.

Resposta

  1. F
  2. V
  3. F
  4. F
  5. V
  6. F