Sejam u e v vetores distintos. Mostre que, se u + v é perpendicular a u - v, então u = v . A que teorema sobre quadriláteros corresponde este resultado?

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão ele pede para mostrarmos que u + v é perpendicular a u – v, sendo

u = v

E quer saber a que teorema sobre o quadrilátero corresponde o resultado,

Passo 2

Vamos lá meus queridos, seja u = x , y , z   e     v = ( a , b , c )

Temos que u + v é ortogonal a u – v pela condição de ortogonalidade < u + v ,   u - v >   = 0 , então:

u + v = ( x + a ,   y + b ,   z + c )  

u - v = x - a ,   y - b ,   z - c  

Com isso < u + v ,   u - v >   = 0

x + a x - a + y + b y - b + z + c z - c = 0

x 2 - a 2 + y 2 - b 2 + z 2 - c 2 = 0

x 2 + y 2 + z 2 = a 2 + b 2 + c 2

Passo 3

Queremos mostrar que u + v é ortogonal a u – v então u = | v |

u = x 2 + y 2 + z 2

v = a 2 + b 2 + z 2

Agora vem aqui comigo meu consagrado apenas vamos supor uma parada aqui,

Se colocarmos | u | = | | v | | , vamos ter que

x 2 + y 2 + z 2 = a 2 + b 2 + c 2

Elevando os dois lados ao quadrado, ficamos com

x 2 + y 2 + z 2 = a 2 + b 2 + c 2

Com isso nossa suposição afirma que u + v é ortogonal a u – v, então

| u | = v →   s e n d o   e l e   u m   l o s a n g o

Resposta

| u | = v →   s e n d o   e l e   u m   l o s a n g o