Sejam u → , v → , w → e z → vetores de V . Dê exemplos das seguintes situações:

  1. u → ,   v →   e w → são l.d., mas u →   , v →   e w → são dois a dois l.i.;
  2. u → ,   v →   e w → coplanares, mas w →   não é combinação linear de u →   e v → ;
  3. u → ,   v → ,   w →   e z → são l.d., mas u → ,   v → ,   w →   e z → são três a três l.i.;
  4. z →   não é combinação linear de u → ,   v →   e w → .

Passo 1

  1. Para que u →   , v →   e w → sejam dois a dois l.i. basta que nenhum seja paralelo aos outros dois. Assim, ainda podemos ter u → ,   v →   e w → sendo l.d. se um deles puder ser expresso como combinação linear dos outros dois e não apenas de um deles.
  2. Passo 2

  3. u → ,   v →   e w → serem coplanares quer dizer que os três estão no mesmo plano. No item anterior, era necessário que um dos vetores fosse combinação linear dos outros dois para que os três fossem dois a dois l.i. Nesse item, já sabemos que w →   não é combinação linear de u →   e v → . Então, u →   , v →   e w → não são dois a dois l.i. v →   e w → e v →   e w → ainda podem ser l.i. mas sem entrar em contradição com o fato de que w →   não é combinação linear de u →   e v → . Então, só sobrou a opção de u →   , v →   serem l.i. Nesse caso, um vetor deve ser paralelo ao outro, ou seja u → = α v →   .
  4. Passo 3

  5. Um conjunto de 4 vetores sempre será l.d. Para que três vetores sejam l.i., basta que dois deles sejam não paralelos e o terceiro não pertença ao mesmo plano dos outros dois. A figura abaixo ilustra uma situação em que isso acontece.
  6. Passo 4

  7. Sabemos que um conjunto de 4 vetores é sempre l.d. Então, para que z →   não seja combinação linear de u → ,   v →   e w → , podemos ter u → ,   v →   e w → num mesmo plano e z →   perpendicular a esse plano. Assim, u → ,   v →   e w → serão l.d. mas z →   não será combinação linear deles.

Resposta

Veja a resolução acima.