Sendo A B →   = ( - 1 , - 2,2 ) , A C →   = ( 1 , - 4,4 ) e A D →   = ( k - 1 , k - 3 , k + 2 ) , calcule:

  1. k de modo que o tetraedro A B C D tenha volume V   =   1 ;
  2. a altura h do tetraedro, relativa o vértice D , quando V   =   1 .

Passo 1

  1. Para resolver essa questão, precisamos calcular o volume do tetraedro usando o produto misto e igualar o nosso resultado a 1 . Vamos começar pelo produto vetorial:
  2. A B → ∧ A C → =

    ⎜                 i →                             j →                         k   →   ⎜

    ⎜ - 1           -   2                         2     ⎜ = ( - 8 + 8 ) i → - ( - 4 - 2 ) j → + ( 4 + 2 ) k →   = ( 0,6 , 6 )

    ⎜               1             - 4                         4     ⎜

    Devemos lembrar que o volume do tetraedro é igual a um sexto do produto misto. Então

    V   = 1 ⇒ 1 6 | ( A B → ∧ A C → ) ⋅ A D → | = 1

    ⇒ | ( 0,6 , 6 ) ⋅   ( k - 1 , k - 3 , k + 2 ) | = 6

    ⇒ | 6 ( k - 3 ) + 6 ( k + 2 ) | = 6

    ⇒ | 6 k - 18 + 6 k + 12 | = 6

    ⇒ | 12 k - 6 | = 6

    Então, temos que

    12 k - 6 = 6 ⇒ k = 1     o u   - 12 k + 6 = 6 ⇒ k = 0

    Assim, os valores k = 1 ou k = 0 satisfazem a condição do volume ser V   =   1 .

    Passo 2

  3. Se a gente considerar que a base é formada pelos vetores A B → , A C → então a área da base do tetraedro vai ser igual a área do triângulo A B C , ou seja

A = 1 2 | A B → ∧ A C → | = 1 2 36 + 36 = 72 2 = 4 ⋅ 18 2 = 18

O volume do tetraedro é a multiplicação da altura, em relação ao vértice D , pela área da base sobre três. Ou seja, temos a seguinte relação:

V = 1 3 A ⋅ h ⇒ h = 3 V A

Como a questão pede que V = 1 e já temos A = 18 , então

h = 3 V A = 3 ⋅ 1 18 = 3 18 18 = 2 ⋅ 3 2 6 = 3 2 6 = 2 2

Resposta

  1. k = 1 ou k = 0
  2. h = 2 2