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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.4 - Ex. 91

Sendo a →   =   ( 1,1 , - 1 ) , b →   = ( - 2,1 , 1 ) e c →   =   ( - 3,0 , 2 ) , calcule:

i) a →   ∧   b → e b →   ∧   a → ;

ii) a →   ∧   b → e a →   ∧   c → ;

iii) ( a →   ∧   b → ) ∧ c → e a →   ∧ (   b → ∧ c →   ) .

Cada parte nos conta algo importante sobre propriedades do produto vetorial. Descubra.

Passo 1

Nessa questão, temos que calcular o que o livro pede e descobrir qual a propriedade de produto vetorial está envolvida. Vamos lá?

i) a →   ∧   b → e b →   ∧   a → :

a →   ∧   b → = ( 1,1 , - 1 ) ∧ ( - 2,1 , 1 ) =

⎜                   i →                   j →                   k →   ⎜

⎜                 1                 1   -   1   ⎜ = ( 1 + 1 )   i →   - ( 1 - 2 )   j → + ( 1 + 2 )   k → = 2   i →   +   j → + 3 k → = ( 2,1 , 3 )  

⎜ -   2                 1                   1   ⎜

Por outro lado,

  b →   ∧   a → = ( - 2,1 , 1 ) ∧ ( 1,1 , - 1 ) =

⎜                     i →                   j →                   k →   ⎜

⎜ -   2                 1                   1     ⎜ = ( - 1 - 1 )   i →   - ( 2 - 1 )   j → + ( - 2 - 1 )   k → = - 2   i →   -   j → - 3 k →

⎜                 1                   1   -   1   ⎜

Com isso, verificamos a propriedade: a →   ∧   b → = - b →   ∧   a → .

Passo 2

ii) Agora, vamos comparar a →   ∧   b → e a →   ∧   c →

a →   ∧   c → = ( 1,1 , - 1 ) ∧   ( - 3,0 , 2 ) =

⎜                   i →                   j →                   k →   ⎜

⎜                 1                 1   -   1   ⎜ = ( 2 - 0 )   i →   - ( 2 - 3 )   j → + ( 0 + 3 )   k → = 2   i →   +   j → + 3 k →  

⎜ -   3                 0                   2   ⎜

Opa, a →   ∧   b → = a →   ∧   c → , mas por que? Se você prestar bem atenção

c →   =   ( - 3,0 , 2 ) = ( - 2,1 , 1 ) -   ( 1,1 , - 1 ) =   b → - a →

Então, na verdade temos

a →   ∧   c → = a →   ∧   ( b → - a → ) = a →   ∧   b → - a →   ∧   a → = a →   ∧   b → ⇒ a →   ∧   a → = 0 →

Agora tudo faz mais sentido, não é mesmo?

Passo 3

iii) Aqui, ( a →   ∧   b → ) ∧ c → , quer dizer que primeiro obtemos a →   ∧   b → e depois fazemos o produto vetorial do resultado com c → . Assim,

( a →   ∧   b → ) ∧ c → = ( 2,1 , 3 ) ∧   ( - 3,0 , 2 ) =

⎜                   i →                   j →                   k →   ⎜

⎜                 2                 1                   3   ⎜ = ( 2 - 0 )   i →   - ( 4 + 9 )   j → + ( 0 + 3 )   k → = 2   i →   - 11   j → + 3 k → = ( )  

⎜ -   3                 0                   2   ⎜

Por outro lado, a →   ∧ (   b → ∧ c →   ) quer dizer que primeiro calculamos (   b → ∧ c →   ) e depois fazemos o produto vetorial do resultado com a → :

  b → ∧ c → = ( - 2,1 , 1 ) ∧   ( - 3,0 , 2 ) =

⎜                   i →                   j →                   k →   ⎜

⎜   - 2                 1                   1   ⎜ = ( 2 - 0 )   i →   - ( - 4 + 3 )   j → + ( 0 + 3 )   k → = ( 2,1 , 3 )  

⎜ -   3                 0                   2   ⎜

Então,

a →   ∧ (   b → ∧ c →   ) = ( 1,1 , - 1 ) ∧   ( 2,1 , 3 ) =

⎜                   i →                     j →                   k →   ⎜

⎜                 1                   1   -   1   ⎜ = ( 3 + 1 )   i →   - ( 3 + 2 )   j → + ( 1 - 2 )   k → = ( 4 , - 5 , - 1 )  

⎜                 2                   1                     3 ⎜

Com isso, concluímos que ( a →   ∧   b → ) ∧ c → ≠   a →   ∧ (   b → ∧ c →   ) .

Resposta

Veja a resolução acima.