Sendo f : N → N dada pela lei f n = n + 1 , mostre que há infinitas funções g : N → N tai que g ∘ f = i N . A função f é inversível ( f - 1 é aplicação)?

Passo 1

Fala galera, bora começar esse exercício de matemática discreta!

Sabemos que os números naturais são os inteiros positivos, então i N x = x , x ∈ N .

Podemos escrever então:

g f x = x → g x + 1 = x

Portanto podemos concluir que para qualquer x, irá existir a sua imagem contida no conjunto dos números naturais sem limitação alguma, ou seja, podem existir infinitas funções dependendo do x presente nos naturais.

Passo 2

A função f é inversível somente se a função for bijetora, como nossa função f(n) é n+1, não tem como chega no número 0, pois para ser 0, n deve ser -1, que não é um número natural. Portanto, a função não é sobrejetora, o que implica que ela não é bijetora e não é inversível.

Resposta

Demonstração