Sendo f (x) = a x^n , com n in N^* , determine a e n de modo que (f @ f) (x) = 3 x^4

Passo 1

Fala galera, bora começar esse exercício de matemática discreta!

Precisamos voltar com a função ao contrário, já que temos o resultado da composta. Então, se é uma função dentro da outra e é do tipo a x^n , então devemos tirar a raiz da função composta para descobrir a função, veja:

sqrt((f @ f) (x)) = sqrt(3 x^4)

f (x) = sqrt(3) x^2

Vamos testar para ver se é isso mesmo:

(f @ f) (x) = sqrt(3) (sqrt(3) x^2)^2 = 3 sqrt(3) x^4

Percebe-se que ainda está faltando um raiz de três né, porque nossa composta é 3 e não 3 sqrt(3) , a função então é:

f (x) = root(3)(3) x^2

Vamos testar:

(f @ f) (x) = root(3)(3) (root(3)(3) x^2)^2 = 3^((1)/(3)) * 3^((2)/(3)) * x^4 = 3 x^4

E chegamos na nossa resposta a = root(3)(3) e n = 2 .

Resposta

a = root(3)(3) e n = 2 .